幂函数过渡段复合变幅杆振动特性的研究

□ 张宁宁

渭南师范学院 物理与电气工程学院 陕西渭南 714000

功率超声振动系统通常是由超声变幅杆、换能器和工具杆组成，其中变幅杆是决定聚集能量和放大振幅的最关键元件。目前对于各种单一形状及其不同组合的变幅杆研究较多［1-6］，但对于三段以上变幅杆计算各性能参数时，如应用传统计算方法，各参数的求解繁琐、复杂。本文应用传输矩阵方法［5］，计算复合三段式幂函数变幅杆的频率方程和放大系数，并以前后段长度相等为例作进一步分析，利用ANSYS软件进行模态分析，结果表明，谐振频率和放大系数模拟值与计算值误差都较小，说明本文理论的正确性，其结果可为此类变幅杆的频率修正提供理论依据和参考。

1 幂函数形复合变幅杆理论分析

图1为幂函数形复合变幅杆的示意图，其中Ⅰ和Ⅲ为等截面棒大小段部分，Ⅱ为幂函数形变截面棒部分，大小端横截面积分别为 s1、s2，其面积函数为 s（x）=将作用在变幅杆输入端及输出端的力及振动速度分别记为 F1、、 F2、， 幂函数截面半径为：（其中形状参数a=（N-1），大小端半径比

单一幂函数形变幅杆的等效四端网络各参量分别为 ［7］：

▲图1 幂函数形复合变幅杆

应用传输矩阵理论［5］可得到如下关系式：

式中：k 为波数；z1=ρCs1，z2=ρCs2，ρ、C 分别为材料密度及纵波速度；A11、A12、A21、A22分别为复合变幅杆的等效四端网络各参量。

当两边界自由时，即F1=F2=0，得A12=0，通过矩阵运算可得：

由此可得到具有幂函数过渡段形状的阶梯形变幅杆频率方程：

同理由矩阵运算得放大系数为：

2 数值分析

两端长度相等而截面不同的阶梯形变幅杆，它的振幅放大系数最大［8］，因此研究kL1=kL3的具有幂函数形过渡段的阶梯形复合变幅杆显得更具有实际意义。作为例子，对kL1=kL3的复合变幅杆进行分析，将kL1=kL3代入式（4），其频率方程变为：

以N为参变量，由上式即可描绘出在谐振条件下变幅杆过渡段参数kL2与阶梯杆参数kL1之间的相互关系曲线，如图2所示。由图可知，当kL2＜1.5时，随N的增大，kL1随kL2的增大而下降较快，当kL2＞1.5 时，随N的增大，kL1随kL2的增大而下降较慢，并且 N愈大，这种现象愈明显。

同样把kL1=kL3代入式 （5），其振幅放大系数变为：

▲图2 谐振条件下kL1与kL2的关系曲线族

表1 N不同时模拟值与计算值的比较

表2 N相同、L2不同时模拟值与计算值的比较

为了验证本文中所得结论的准确性，取变幅杆材料为45号钢，杨氏模量E=216 GPa，泊松比σ=0.28；密度 ρ=7.84×103kg/m3。 用 ANSYS有限元模态分析，并与理论值进行比较，表1为N不同时模拟值与计算值的比较，表2为N相同、L2不同时模拟值与计算值的比较。表中：D1和D2分别为变幅杆大端和小端的直径，f1和f2分别代表理论计算频率和ANSYS模拟频率，是频率的相对误差，M1为理论放大系数，M2为模拟放大系数，为放大系数的相对误差。

由表1可以看出，随着N的增加，频率与放大系数都在增大，通过比较还可以看出，不论是谐振频率还是放大系数，模拟值与计算值的相对误差都较小，表明本文理论的正确性。由表2可以看出，当N相同、过渡段长度L2不同时，谐振频率与放大系数的模拟值与计算值的相对误差还是较小，同时还可以看出，随着L2的增加，谐振频率和放大系数都不断减小，这为此类变幅杆的频率修正提供了理论依据和参考［9－13］。

3 结论

利用传输矩阵推导了幂函数形复合变幅杆的频率方程和放大系数，分析了过渡段对放大系数及频率特性的影响，在此基础上又用有限元软件ANSYS进行了模态分析，验证了本文计算的正确性，与数值法相比，大大简化了计算过程，物理意义也比较明显。

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