基于泰勒展开边界元法的深水浮体二阶平均漂移力计算

段文洋，陈纪康，赵彬彬

（哈尔滨工程大学船舶工程学院，黑龙江哈尔滨150001）

基于泰勒展开边界元法的深水浮体二阶平均漂移力计算

段文洋，陈纪康，赵彬彬

（哈尔滨工程大学船舶工程学院，黑龙江哈尔滨150001）

为了消除传统低阶面元法计算非光滑边界单元处的切向诱导速度精度低的缺点，提出了一阶泰勒展开边界元方法。对边界积分方程中偶极强度在单元内进行泰勒展开，保留一阶导数项，并对边界场点求2个正交方向的切向导数来封闭方程组，从而可同时求解单元中的速度势及其切向速度。数值计算表明，该方法可提高浮体边界拐角处切向速度和水线处波面爬高的计算精度，进而保证浮体二阶平均波浪漂移力的计算精度和收敛性。

二阶波浪力；泰勒展开；边界元方法；深水浮体；柯钦函数；近场公式；远场公式

Hess等［1］将边界元方法拓展到求解浮体水动力学问题中。从边界积分方程数值离散看，边界元法可分为低阶边界元方法（常值面元法）和高阶边界元方法。

对于低阶边界元方法，通常用2种方法求解浮体水动力问题，即：利用源-偶混合分布方法求解速度势，分布源方法求解诱导速度［2］，或者直接利用分布源方法求解速度势和诱导速度［3］。对于任意边界，只要面元数足够，这2种方法求解速度势都能得到令人满意的精度，但是第1种方法的收敛性更好［4］。而对于非光滑边界，2种方法计算得到的非光滑边界面元处的诱导速度均不精确。这导致由速度平方项和水线波浪爬高产生的二阶定常波浪载荷随着单元数量增加不收敛［2］。

在相同面元数下高阶边界元方法极大改进了计算精度。Choi等［5⁃8］表明高阶边界元方法计算收敛较快。但是对于边界具有拐角且需要求解速度势导数的情况，由于某些边值问题在角点存在奇异性，并且高阶边界元法需要处理复杂的高阶奇异积分，往往并不能给出满意的计算结果［8］。

针对上述问题，段文洋［9］提出了泰勒展开边界元方法（Taylor expansion boundary element method，TE⁃BEM）的思想，即对源-偶混合分布方法中偶极强度（即速度势）进行泰勒展开，并保留一阶导数项（即切向速度），未知数是速度势及其切向导数，如果离散面元数为N，则对于三维问题，TEBEM未知数的个数为3N。所以需要再引入2N个代数方程来封闭TEBEM的方程组。对此，本文提出对格林第三公式中场点，考察其沿着法向趋于边界时垂直于法线平面内相互正交的2个方向上的一阶导数特性，发现其积分拥有同偶极分布类似的特性，即主值系数为2π。这样就提供了2组共2N个代数方程。因为在上述泰勒展开过程中仅仅展开到一阶，所以本文方法称为一阶TEBEM。

对于海洋大型浮体波浪载荷计算，和解析解计算结果的比较表明，本文提出的方法无论对于光滑边界还是边界突变处的速度势和切向速度都具有极高的计算精度，浮体二阶波浪定常力收敛很快。

1 深水浮体二阶平均波漂力的定解问题

假设流体无粘，不可压缩且流动无旋。本文讨论深水浮体水动力的频域解，右手直角坐标系原点位于静水面，z轴垂直向上，流场速度势可写为Φ( x，y，z，t )＝Re[ φ( x，y，z)e-iωt]，φ满足拉普拉斯方程，在静水面上满足线性自由面条件。

从总的速度势中分出入射波势即：φ＝φ0+φP。已知入射波速度势表达式为

式中：ω、a、k0、β分别为入射波浪的角频率、波幅、波数及入射波浪向角，g为重力加速度。

根据叠加原理［4］，扰动势可分解为7个部分：

式中：vj为浮体6个自由度的运动速度，φj（j＝1，2，…，6）为物体单位速度运动产生的辐射势，φ7为绕射势。

扰动速度势φj（j＝1，2，…，7）定解问题为

一是按照“下管一级”的原则，部属各级预算单位负有对本级和下级预算单位动态监控的职责。但各级预算单位动态监控开展工作不够均衡，部分单位未开展动态监控工作。二是对在监控中下发的疑点问题，有关单位的反馈、整改不够及时，影响了动态监控应取得的成效。

一旦求得φ及∇φ之后，作用在浮体上的一阶和二阶水动力可根据式（4）、（5）求得。下面给出浮体的一阶水动力和二阶平均波漂力表述为平均湿表面积分的近场公式：

式中：浮体平动位移为T＝Re( ηTe-iωt)；ηT＝(η1，η2，η3)；角位移为Ω＝Re( ηRe-iωt)；ηR＝ (η，η，η)；总位移为X＝Re(χe-iωt)，χ＝

456(χ1，χ2，χ3)＝ηT+ηR×r；其中波面升高表达式为：ζ3＝iωφ／g；Awp为水线面面积；ρ表示流体密度；xf是水线面漂心纵向位置坐标；r为位置矢量；n表示物面法向，其正方向指向流域外部；wl为浮体平均位置的水线；上标＂∗＂表示共轭函数。

而远场公式［4］的收敛性更高。其x、y方向表达式为

式中：υ＝ω2／g。K为柯钦函数，基于分布源方法的柯钦函数表达式可参见文献［4］。而基于源-偶混合分布方法的柯钦函数表达式在下节给出。

2 一阶泰勒展开边界元方法

在流场边界上运用格林第三公式，利用脉动源兴波格林函数可以获得在浮体平均湿表面上表示的流场速度势边界积分方程［4］：

当场点沿着法线方向趋近物面时，可得到基于源-偶混合分布的边界积分方程，即

为了补充一阶TEBEM方法的方程组，对格林第三公式中场点，考察其沿着法向趋于边界时垂直于法线平面内相互正交的2个方向上的一阶导数。可得到如下方程组：

注意方程（9）中的求导为关于场点处2相互正交方向的切向导数。式中x-和y-为场点所在面元局部坐标下的坐标，如图1所示。

将积分边界S划分为N个面元，与传统的常值面元法不同，对方程（8）、（9）中的偶极强度在积分边界划分后的面元局部坐标系下（见图1）进行泰勒展开，并保留一阶导数项，即

上式各矩阵中元素表达式：k＝1，2，3，m＝1，2，3

式中：上标i和j表示面元编号。

一旦利用源-偶混合分布方法求解得到浮体湿表面的速度势场后，可借助于柯钦函数，利用近场速度势来表示无穷远处流场质点的速度势。再利用远场公式（6）可计算浮体平均波漂载荷。远场扰动速度势表达式为

式中：r为柱坐标系下的径向坐标。

图1 局部坐标系Fig.1 The schematic of the local coordinate

3 用解析解对TEBEM精度的验证

为了验证TEBEM对于带有拐角浮体水动力的计算精度。选择海洋工程常用的有限吃水圆柱型浮体。对于无限水深情况，没有找到有限吃水圆柱水动力问题的解析解。为此，考察有限水深情况下有限吃水圆柱绕射问题的解析解［10］，分析当吃水增大，直至计算结果不受水深变化影响的速度势和其导数稳定值代替无限水深圆柱绕射势及其导数。截断圆柱半径为R，吃水为T＝1.25R。

选取距离柱面顶部d＝T／50处网格中心点作为研究对象。利用一阶TEBEM方法和分布源方法计算无限水深圆柱绕射势及其诱导速度。图2和图3给出了各点在k0R＝3.26时z方向无因次绕射诱导速度实部φDzc和虚部φDzs。利用入射波相速度做无因次化处理。从图中可以看出，一阶TEBEM方法求解的z方向的切向诱导速度精度明显比分布源方法高。

图2 k0R＝3.26时，选取点诱导速度实部Fig.2 Real part of the diffraction induced velocity at selected points，k0R＝3.26

图3 k0R＝3.26时，选取点诱导速度虚部Fig.3 Imaginary part of the diffraction induced veloci⁃ty at selected points，k0R＝3.26

图4 圆柱的平均漂移力Fig.4 The diffraction mean drift force of cylinder

图4 给出了圆柱绕射平均漂移力的解析解，分布源方法和一阶泰勒展开边界元方法基于近场公式的计算值，及基于源偶混合分布和分布源方法的远场积分公式计算值。为了方便比较，平均漂移力结果利用ρga2R作无因次化处理。图5给出了4种方法的计算结果的相对误差。从图中可以看出，一阶TEBEM方法的相对误差在整个波长范围内控制在4%以内。在高频段，可以看出一阶TEBEM方法的相对误差明显小于分布源方法。而2种远场公式的计算结果相同。与解析解吻合，精度较高。在频域方法中，会存在不规则频率的现象，本文利用的是扩展边界积分方程的方法消除不规则频率［11］，因此计算结果中没有看到不规则频率现象。

图5 圆柱平均漂移力相对误差Fig.5 Relative error of the diffraction mean drift force

图6 水线积分项贡献Fig.6 Contribution of the waterline integral

图7 速度平方项贡献Fig.7 Contribution of the square velocity item integral

4 实船二阶定常波浪力结果与分析

本文以KVLCC2船为模型进行实船验证。入射波浪向角为艏斜浪β＝165°。图9、10给出了KVLCC2在艏斜浪方向入射波浪作用下，一阶TEBEM方法和分布源方法计算得到的纵向平均漂移力结果。为了方便比较，利用ρga2B2／L作无因次化处理。图中L为船长，B为船宽，λ为波长。从图9、10中可以看出，分布源方法与远场公式在高频段收敛于不同的值。2种方法存在一定的误差。相比较一阶TEBEM方法与远场公式结果更为吻合。图11、12给出了相同工况下，2种方法计算的KVLCC2横向平均漂移力结果。从图中可看出，分布源方法的计算结果在船长波长比大于2后发散，而一阶TEBEM方法很快收敛。

图9 基于一阶TEBEM方法计算的纵向平均漂移力（β＝165°）Fig.9 The surge mean drift force calculated by the 1storder TEBEM method at β＝165°

图10 基于分布源方法计算的纵向平均漂移力（β＝165°）Fig.10 The surge mean drift force calculated by the source distribution method at β＝165°

图11 基于一阶TEBEM方法计算的横向平均漂移力（β＝165°）Fig.11 The transverse mean drift force calculated by the 1storder TEBEM method at β＝165°

图12 基于分布源方法计算的横向平均漂移力（β＝165°）Fig.12 The transverse mean drift force calculated by the source distribution method at β＝165°

5 结论

本文提出了一种边界积分方程新的求解方法，称之为泰勒展开边界元方法。利用该方法可精确求解边界突变处的诱导速度，并解决了传统高阶边界元方法处理奇异积分困难的问题，以无限水深圆柱波浪绕射及6自由运动的KVLCC2肥大船舶来验证一阶TE⁃BEM方法的精度，结论如下：

1）通过与解析解的比较可知，一阶TEBEM方法可解决物面突变处诱导速度精度低的问题。与传统分布源方法相比，即使在相同的计算量下，一阶TEBEM方法的计算精度仍比分布源方法要高。

2）由于高精度的诱导速度求解，一阶TEBEM方法计算的浮体二阶平均波浪漂移力精度更高，尤其体现在高频段。

本文只是对偶极强度进行一阶泰勒展开，但是在解决实际工程问题时，比如船舶波浪增阻问题，需要精确求解速度势的二阶导数，因此将一阶TEBEM方法拓展至二阶是未来需进行的工作。

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Calculation of second⁃order mean drift loads for the deepwater floating body based on the Taylor expansion boundary element method

DUAN Wenyang，CHEN Jikang，ZHAO Binbin
（College of Shipbuilding Engineering，Harbin Engineering University，Harbin 150001，China）

Taylor expansion boundary element method（1storder TEBEM）is developed for improving the solution accuracy of the tangential induced velocity at the unsmooth corners of the floating body in the traditional low order panel method.This method is based on the framework of the constant panel method to discrete the boundary integra⁃tion equation（BIE），which mainly applies the Taylor expansion formula to the dipole strength of the BIE on each element and reserves the first order derivatives which are exactly the tangential velocity on the element.Finally it u⁃tilizes the corresponding tangential derivatives of two tangential directions with respect to the field points on the boundary to close the equations.Numerical results showed that the 1storder TEBEM can accurately solve the tan⁃gential velocity at the corner of floating body and the height of wave surface of waterline.Compared with constant panel methods，it is found that TEBEM can get higher accuracy and convergence results of the second order wave drift loads.

second order mean wave drift loads；Taylor expansion；boundary element method；deepwater floating body；Kochin function；near⁃field formulation；far⁃field formulation

10.3969／j.issn.1006⁃7043.201406006

http：／／www.cnki.net／kcms／detail／23.1390.U.20150109.1453.001.html

O352

A

1006⁃7043（2015）03⁃0302⁃05

2014⁃06⁃05.网络出版时间：2015⁃01⁃09.基金项目：国家自然科学基金资助项目（11272097）.

段文洋（1967⁃），男，教授，博士生导师.

段文洋，E⁃mail：duanwenyang＠hrbeu.edu.cn.