基于Gramian分解的对称半正定矩阵的正则化低秩逼近

张雪伟,江祝灵,段雪峰

基于Gramian分解的对称半正定矩阵的正则化低秩逼近

张雪伟,江祝灵,段雪峰

(桂林电子科技大学数学与计算科学学院,广西桂林 541004)

针对对称半正定矩阵的正则化低秩逼近问题,基于对称半正定矩阵的Gramian分解,将对称半正定矩阵的正则化低秩逼近问题转化为等价的无约束优化问题,并构造非线性共轭梯度方法求解转化后的无约束优化问题。数值实验验证了新方法的可行性。

对称半正定矩阵;正则化低秩逼近;非线性共轭梯度法;Gramian分解

记Rn×n为n×n实矩阵集合,SRn×n为n×n对称半正定矩阵集合,rank(B)和tr(B)分别为矩阵B的秩和迹。对于n×n阶矩阵B,设bi为矩阵B的第i列,则B可表示为B=(b1,b2,…,bn)。设[Bij]为矩阵B的第i行第j列元素,即[Bij]=bij。用vec(B)表示矩阵B的按列拉直向量,即vec(B)=(b1T,b2T,…,bnT)。‖B‖F表示矩阵B的F范数,则

研究对称半正定矩阵的正则化低秩逼近问题。

问题1 给定矩阵A,B,C∈Rn×n,正整数k≤n,参数0＜α＜1,求一个秩小于等于k的对称半正定矩阵¯X,使得

研究结构矩阵逼近问题采用的方法有低阶近似的截断奇异值分解法[1-2]、Lanczos双对角化过程[3]、Monte Carlo算法[4]。基于结构化总体最小二乘, Park等[5]提出Hankel低阶近似的数值方法,此方法后被用于Sylvester的低秩近似计算,并且在计算Sylvester逼近过程中给出了一元多项式的近似最大公约数[6-8]。Higham[9]和段雪峰[10]分别采用分半算法和共轭梯度法求解对称半正定矩阵的近似逼近; Suliman[11]采用交替投影算法和拟牛顿法求解Toeplitz矩阵逼近问题;唐鸣[12]采用牛顿法求解,将问题转化为无约束优化问题,但计算量较大,而且牛顿法对于大多数问题不是整体收敛,而改用拟牛顿法对Hankel矩阵逼近问题进行求解得到了较好的收敛效果。……