椭圆曲线y2＝nx（x2－4）的整数点

万 飞

（红河学院教师教育学院，云南 蒙自 661199）

椭圆曲线y2＝nx（x2－4）的整数点

万 飞

（红河学院教师教育学院，云南 蒙自 661199）

设n为奇素数，利用初等方法证明了椭圆曲线y2＝nx（x2－4）无正整数点．

椭圆曲线；正整数点；奇素数

椭圆曲线的整数点是数论和算术代数几何学中基本而又重要的问题，关于椭圆曲线y2＝nx（x2＋2）的整数点问题，目前已有如下结论：文献［1］证明了当n是适合n≡5或7（mod 8）的奇素数时，方程y2＝nx（x2＋2）无非零整数解；文献［2］证明了当p≠3为奇素数时，如果p≡5或7（mod 8），则y2＝px（x2＋2）没有正整数点；如果p≡1（mod 8），则y2＝px（x2＋2）至多有一组正整数点；如果p≡3（mod 8），则y2＝px（x2＋2）至多有2组正整数点；文献［3］证明了如果n的素因素p都满足p≡5或7（mod 8），则方程y2＝nx（x2＋2）无非零整数解．而对于椭圆曲线y2＝px（x2＋4）的整数点问题，目前已有如下结论：文献［6］证明了p≠5为奇素数时椭圆曲线y2＝px（x2＋4）至多有1组正整数点，p＝5时恰有2组正整数点（1，5），（4，21）．而对于椭圆曲线：

的整数点问题，目前还没有相关结论，本文主要讨论椭圆曲线（1）的正整数点．引理1［5］当a＞1且a是平方数时，方程ax4－by2＝1至多有一组正整数解．定理1 如果n为奇素数，则椭圆曲线：

至多有1个正整数点．

证明 设（x，y）是椭圆曲线（1）的整数点，因为n是无平方因子的正奇数，故由（1）知n｜y，设y＝pz，z∈Z，将其代入椭圆曲线（1），得：

因为gcd（x，x2－4）＝gcd（x，4）＝1或2或4，故方程（2）可分解为以下6种情况：

情形Ⅰ x＝na2，x2－4＝b2，z＝ab，gcd（a，b）＝1，a，b∈Z；

情形Ⅱ x＝a2，x2－4＝nb2，z＝ab，gcd（a，b）＝1，a，b∈Z；

情形Ⅲ x＝2na2，x2－4＝2b2，z＝2ab，gcd（a，b）＝1，a，b∈Z；

情形Ⅳ x＝2a2，x2－4＝2nb2，z＝2ab，gcd（a，b）＝1，a，b∈Z；

情形Ⅴ x＝4na2，x2－4＝4b2，z＝4ab，gcd（a，b）＝1，a，b∈Z；

情形Ⅵ x＝4a2，x2－4＝4nb2，z＝4ab，gcd（a，b）＝1，a，b∈Z．

情形Ⅰ 由x2－4＝b2，得：x2－b2＝4，即：（x＋b）（x－b）＝4，解得：x＝±2，b＝0，因此情形Ⅰ给出了椭圆曲线（1）的整数点（x，y）＝（±2，0）．

情形Ⅱ 由x2－4＝nb2得：（x＋2）（x－2）＝nb2，将x＝a2代入得：（a2＋2）（a2－2）＝nb2．又由前4式知 gcd（x，x2－4）＝1，故此时x为奇数，因此gcd（x＋2，x－2）＝1，即：gcd（a2＋2，a2－2）＝1，所以（a2＋2）（a2－2）＝nb2可分解为：

情形i a2＋2＝nu2，a2－2＝v2，b＝uv，gcd（u，v）＝1，u，v∈Z

情形ii a2＋2＝u2，a2－2＝nv2，b＝uv，gcd（u，v）＝1，u，v∈Z

情形i 由a2－2＝v2，得：a2－v2＝2，即：（a＋v）（a－v）＝2，解得：

，不符合题意，所以该情形不成立．

情形ii 由a2＋2＝u2，得：u2－a2＝2，即：（u＋a）（u－a）＝2，解得：，不符合题意，所以该情形不成立．

综上有情形Ⅱ不成立．

情形Ⅲ 将x＝2na2代入x2－4＝2b2，得：4n2a4－4＝2b2，即：4n2a4－2b2＝4．

又由前3式知gcd（x，x2－4）＝2，故此时2｜｜x，故4｜x，因此由x2－4＝2b2知2｜b，则令b＝2c，c∈Z，此时4n2a4－2b2＝4为4n2a4－8c2＝4，即：n2a4－2c2＝1．由引理1，方程n2a4－2c2＝1至多有一组正整数解，故方程（2）至多有1组正整数解，椭圆曲线（1）至多有1组正整数点．

情形Ⅳ 将x＝2a2代入x2－4＝2nb2，得：4a4－4＝2nb2，即：4a4－2nb2＝4．又由前3式知gcd（x，x2－4）＝2，故此时2｜｜x，故4｜x，因此由x2－4＝2nb2知2｜b，则令b＝2d，c∈Z，此时4a4－2nb2＝4为4a4－8nd2＝4，即：n2a4－2nd2＝1．由引理1得方程n2a4－2nd2＝1至多有一组正整数解，故方程（2）至多有1组正整数解，椭圆曲线（1）至多有1组正整数点．

情形Ⅴ 由x2－4＝4b2，得：x2－（2b）2＝4，即：（x＋2b）（x－2b）＝4，解得：x＝±2，b＝0．又由前4式知gcd（x，x2－4）＝4，故4｜x，因此x＝±2不符合题意，所以该情形不成立．

情形Ⅵ 将x＝4a2代入x2－4＝4nb2，得：16a4－4＝4nb2，即：4a4－nb2＝1，由引理1得方程4a4－nb2＝1至多有一组正整数解．

［1］陈历敏.Diophantine方程y2＝px（x2＋2）［J］.数学学报，2010，53（1）：83－86.

［2］李玲，张绪绪.椭圆曲线y2＝nx（x2＋2）的整数点［J］.西安工程大学学报，2011，25（3）：407－409.

［3］廖思泉，乐茂华.椭圆曲线y2＝px（x2＋2）的正整数点［J］.数学杂志，2009，29（3）：387－390.

［4］袁平之，张中锋.丢番图方程ax4－by2＝1［J］.数学学报，2010，53（3）：443－454.

［5］乐茂华.一类二元四次Diophantine方程［J］.云南师范大学学报：自然科学版，2010，30（1）：12－17.

［6］崔保军.椭圆曲线y2＝px（x2＋4）的正整数点［J］.佳木斯大学学报：自然科学版，2014，32（6）：962－963.

责任编辑：时 凌

声 明

本刊已许可中国学术期刊（光盘版）电子杂志社在中国知网及其系列数据库产品中，以数字化方式复制、汇编、发行、信息网络传播本刊全文.该著作使用费及相关稿酬，本刊均用作为作者文章发表、出版、推广交流（含信息网络）以及赠送样刊之用途，即不再另行向作者支付.凡作者向本刊提交文章发表之行为即视为同意我刊上述声明.

湖北民族学院学报编辑部

The Integral Points on the Elliptic Curve y2＝nx（x2－4）

WANG Fei
（College of Teacher’s Education，Honghe University，Mongzhi 661199，China）

Let n be odd prime.We proved that the elliptic curve y2＝nx（x2－4）in title has no positive in⁃teger points.

elliptic curve；integer point；odd prime

O156.1

A

1008－8423（2015）03－0271－02

10.13501／j.cnki.42－1569／n.2015.09.010

2015－08－16.

云南省教育厅科研基金项目（20147462）；红河学院校级课题（XJ15422）；喀什师范学院校级课题（（14）2513）.

万飞（1969－），女，副教授，主要从事初等数论的研究.