SOLO分类理论在高中数学作业批改中的应用*

刘绿芹

近年来，随着高考竞争压力的增大，很多学校都非常重视数学训练，通过大量的作业练习来训练学生，但教师对学生作业的批改却成为被忽略的环节。当前作业批改的主要方式是给学生打分数，对学生解答过程的深层次分析和研究很少。因此，我们需要在作业批改中引入一种新方法，不仅要对学生作业进行量化评价，更重要的是进行质性评价，并对学生的思维层次进行划分，同时展开相应的分析和研究，为学生订正作业、教师针对性地评讲作业打下基础。

一、什么是SOLO分类理论

SOLO分类理论是一种学生学业评价方法。“SOLO”是英文“Structure of the Observed Learning Outcome”的缩写，其意为可观察的学习结果的结构[1]，该理论是一种以等级描述为特征的质性评价方法。香港大学教育心理学教授Biggs，J.B在1982年与Collis，K.F合作出版的《Evaluating the Quality of learning——the SOLO taxonomy》一书中及他在1986年的《The SOLO taxonomy》一文对该理论做了详细的应用介绍[1]。从国内外的研究发现，SOLO分类理论可以应用到多种学科领域中，包括数学、语文、英语、历史、生物、化学、地理等，这是SOLO分类理论的优势所在。

二、SOLO分类理论在高中数学作业批改中的应用举例

根据SOLO分类理论，我们将学生作业划分为五个认知水平：前结构水平（P）、单一结构水平（U）、多元结构水平（M）、关联水平（R）、扩展抽象水平（E）。因此，在作业批改时，我们可以在学生作业的每一道试题上，打上“P、U、M、R、E”这样的字母符号，对学生的每一道作业做出思维层次水平评价。

【例】已知一个“三角形数阵”，记第i行第j列的数为aij（i≥j；i，j∈N*）

（1）求a86；

（2）写出aij关于i，j的表达式；

（3）记第n行的各数和为An，求数列{An}的前m项和Sm的表达式

■

■，■

■，■，■

1，■，■，■

■，■，■，■，■

■，■，■，■，■，■

1.试题分析

上题是笔者在教学实践过程中布置给学生的一道作业，该题把“三角数阵”当作问题情境和背景，需要学生从中寻找有效信息和规律，并将其抽象建模为数学问题。从题设中“第i行第j列的数为aij”可以看出，需要学生对n与an的关系有深刻的认识，否则无法理解aij。从题中给出的三小问可以看出，题目是在步步引导学生，从求a86这一特殊值，到“写出aij关于i，j的表达式”这样的通式，再到第（3）问的Sm，层层递进，难度也逐步加大。如何从数阵中捕捉出重要信息是解决本题的关键，我们从每一行给出的数可以知道，从第3行起，每一行都是一个等比数列，并且公比都为■，因此，想要求出数阵中的数，只需要再观察每一行的第一个数组成的数列即可，即{ail}具有什么性质，当我们将这些数放在一起观察时，我们就会发现，每一行第一个数组成的数列是{■，■，■，■，■…}，即{ai1}是首项为■，公差为■的等差数列。因此，观察出“等比数列”和“等差数列”是解决本题的关键，这需要学生具有对数列的敏锐观察能力和数据的抽象能力，同时还需要对等差数列、等比数列的概念有比较深刻的认识。接下来，需要学生对抽象出来的数学知识进行加工和分析，解决相应的问题。

第（1）问中，学生首先需要利用{ai1}是等差数列求出a81，并将其当作等比数列的第一项，求出第6项，即a86。该问只要学生抽象出数表中的核心即可解决。对于第（2）问，学生可以在第（1）问的基础上，同样是先利用等差数列求出ai1=■+（i-1）■=■，并将其当做第i行数列的首项，接着利用等比数列的通项公式求出aij。第（1）问是第（2）问的台阶，学生只要将第（1）问理解深刻，第（2）问就水到渠成。

对于第（3）问，则需要学生对“求和”有深刻的认识，An是求和，Sm也是求和，但An加上“{}”后则意义发生一定的改变，变成所谓的“通项公式”了。因此，求出“通项公式An”尤为重要，因为每一行都是等比数列，An的本质又是等比数列的求和，即An=■，又an1=■，故An=■-■·■，则Sm=A1+A2+…Am。我们通过观察，An由两部分组成，一部分是“■”，另一部分是“■·■”，那么在求Sm时，我们可以将其拆分为两部分，即Sm=■（1+2+…+m）-■（■+■+■+…■），不难看出，第一个括号内是等差数列求和，比较容易解决。而第二个括号内比较复杂，我们令Tm=■+■+■…+■■，此时我们发现，分子可以组成一列等差数列，分母则可以组成等比数列，由此我们使用“错位相减法”求和，即在Tm=■+■+■+…+■两边分别乘以■得■Tm=■+■+…+■+■，再用Tm-■Tm得■Tm=■+■+■+…+■-■=1-■，最后将其带入Sm即可得出最后结果Sm=■+■-1。从第（3）问的解题思路来看，即有等差数列的求和，又有等比数列的求和，而且运用到“等差乘等比型数列（设{an}为等差数列，{bn}为等比数列，则数列{an·bn}可称为等差乘等比型数列）”的求和方法“错位相减法”，解题所用知识几乎覆盖到数列的每一个知识点，思维方法也要求较高，这对学生来说，是个不小的挑战。

2.学生作业分析

（1）前结构水平

下面是某位学生的解答过程，从解答来看，他判断出了i=8，j=6但a86究竟是什么含义，未能看懂，只是将8与6相加得a86。因此，类似于下面的答案被划分为前结构水平（P）。

解：i=8，j=6，则a86=14

（2）单一结构水平

从下面学生的解答过程来看，该生能够判断出aij的含义，并且观察出一些数成等差数列，一些数成等比数列，也求出d=■，q=■。但学生却就此收敛，未能进一步研究下去，只解决了简单的单一问题。因此，下面的答案可以划分为单一结构水平（U）。

解：各行第一个数组成等差数列，a11=■，a21=■故d=■，各行数组成等比数列，a31=■，a32=■，故q=■

（3）多元结构水平

该题第（1）问中，要求第8行第6列的数是多少，在学生答案中，有很多学生是通过续写出第7行、第8行，然后观察a86是多少。这不失为一个好办法，但这样的办法对解决第（2）问、第（3）问却没有大的帮助。我们需要从中找出规律，再利用数列的知识计算出相应的项。下面是某同学的解答过程，他首先判断出ai1为等差数列，故能求出a81，又发现从第三行起，每一行又成等比数列，故求出了q=■，从而a86得解。从过程来看，该生具有一定的观察能力，能够从数阵中找出等差数列、等比数列，并且同时利用等差数列和等比数列的知识求解出a86。故下列答案被划分为多元结构水平（M）。

解：数列{ai1}为等差数列

a11=■，a21=■，d=a21-a11=■，a81=■+7×■=2

又从第三行起分别成等比数列，公比都相等

q=■=■，∴a86=2×（■）5=■

（4）关联结构水平

该题中的等差数列与等比数列在三角形数阵中看似一个横向、一个斜向，但如何将等差数列与等比数列相关联是本题的难点。而题目中的第一小问求a86，则相当于台阶，帮助学生理解问题。一旦学生理解了ai1为等比数列的首项功能后，求解aij则不再是难点。从下面学生的解答来看，该生显然理解了问题的本质，首先利用等差数列求出了ai1，再以ai1为首项，■为公比，求出了aij。在解题过程中，该生很好地把等差数列、等比数列相融合，并成功解决了问题。因此，下面的答案我们划分为关联结构水平（R）。

解：（1）由数阵知，数列{ai1}为等差数列

∵a11=■，a21=■，∴公差d=a21-a11=■

∴a81=■+7×■=2，

又∵第三行起各行分别成等比数列，公比都相等

∴公比q=■=■，∴a86=2×（■）5=■

（2）由（1）知，ai1=■+（i-1）■=■，

∴aij=ai1·（■）j-1=■·（■）j-1=i·（■）j+1

（5）扩展抽象水平

对于第（3）问，该题要求较高，Am其实是第n行各数的和，但加上{}后，则变为新数列，题目中的Sm却是{Am}的前m项和。从下面学生的解答来看，该生先求出An，提取■后，构成等比数列求和，并且最后化简为■+■·■备用。接着把Sm表示成（■+■+…+■）-■（1×■+2×■+…+m×■），从中我们可以发现，前一个括号提取后，构成等差数列求和，而后一个括号内却“既有等差数列又有等比数列”，于是该生采用的方法是将该括号内的内容提取出来，记为Tm，然后利用两边同时乘以所谓公比■，再与原式相减得出■Tm，进而求出最终的Sm。从该生的整个解题过程来了，首先在求解An时，通过提取■的方法，扩展出一个等比数列求和，在求解Sm时，该生又将Am裂项，扩展为两部分，其中前一部分为等差数列，后一部分为“等差乘等比型数列”。对于后一部分，该生将等比数列求和公式的推导过程抽象至此，从而致使问题得到解决。因此，下面的解答过程，可以将其划分为扩展抽象水平（E）。

解：（1）a81=■+7×■=2，a86=2×（■）5=■

（2）aij=[■+（i-1）×■]×（■）j-1=■·（■）j-1

（3）An=■[1+（■）1+（■）2+…+（■）n-1]

=■·■=■·[1-（■）n]

=■-■·■

则Sm=A1+A2+…+Am =（■+■+…+■）

-■（1×■+2×■…+m×■）

=■

-■（1×■+2×■…+m×■）

记Tm=1×■+2×■…+m×■） ①

则■Tm=1×■+2×■+…+m×■②

②-①得■Tm=■+■+■+…+■+■

=■-m×■

=1-（■）m-■

故Sm=■-■Tm=■[1-（■）m-■]

=■+■-1

通过上述的实践应用发现，在数学作业批改中，我们只需在传统的打分模式上，对学生的每一道作业试题再深入分析研究，并对照SOLO分类理论的五个层次水平（P、U、M、R、E），给学生打出相应的等级水平。当学生看到自己的等级水平时，就会思考怎样达成更高等级水平，由此激发学生深入学习的欲望，促进学生认知水平的不断提高。教师也可以通过班级的整体认知水平，决定作业讲评的侧重点，从而提高课堂教学的有效性、针对性。

参考文献

[1] Biggs，J.B， Collis，K.F.Evaluating the Quality of Learning： The SOLO Taxonomy [M]. New York： Academic Press，1982.

【责任编辑 郭振玲】