在轨拦截器空间碎片碰撞概率算法

冯博鑫，谭守林，仉小博

(陕西西安第二炮兵工程大学4504 分队，西安 710025)

随着人类航天活动的不断增加，空间环境状态日益恶化，空间存在的大量碎片对在轨航天器造成的安全威胁日趋增加，航天器与其他空间飞行体撞击事件时有发生。北京时间2009年2月11日，美国通信卫星“铱星33”与俄罗斯已报废多年的“宇宙2251 号”军用通信卫星在西伯利亚上空发生激烈相撞，引起了国际社会的高度关注［1］。对空间碎片的跟踪、观测、轨道确定、碰撞预警等领域的研究在理论上已有大量成果。为确保拦截器在轨运行过程中不会与其他空间飞行体碰撞，必须根据空间飞行体运动状态及分布特性，为拦截器选择一条无障碍的安全飞行轨道。

1 在轨拦截器飞行环境分析

在轨拦截器无论是在轨运行，还是在拦截器机动轨道上执行拦截任务，都可能会与其他空间飞行体相遇，尤其是空间碎片。由于其数量多，分布区域大，与拦截器相碰撞的可能性极大。

1.1 空间碎片数量分布

据统计，截止目前人类总共有5 000 余次航天活动，6 000多个航天器被送入轨道，随着各国航天事业的快速发展，空间碎片与日俱增，据美国空间监视网络(SSN)观测，直径大于10 cm 的空间碎片约1.9 万多个。直径在1 ～10 cm之间的空间碎片有20 万个左右，直径在1 ～1 cm 之间的空间碎片约有3 ～4 千万个［2］。所研究的空间碎片，主要是地面观测设备所能观测并能测定其轨道的碎片，这些碎片尺寸其直径通常大于10 cm，具有较大的动能和破坏力，与拦截器相撞，足以将其毁伤。

1.2 空间碎片质量分布

据资料统计，直径大于10 cm 的空间碎片，其总质量约占全部空间碎片质量的99%以上，约为3 000 t，人类在半个多世纪内发射入轨的航天器有6 000 多吨，而目前留在轨道的上的碎片质量将近其一半，这3 000 t 空间碎片中分布在近地轨道的约为2 500 t。直径大于10 cm 的1.9 万多个空间碎片其运行轨道在空间分布为:近地轨道空间碎片约15 500个，占总数的80%，地球中高轨道空间碎片约2 500个，占总数13%;地球同步轨道空间碎片约1 250 个，占总数7%［3］。其分布概况如图1 所示。

图1 空间碎片分布

1.3 空间碎片密度分布

直径10 cm 以上空间碎片的分布可以基本上反映编目空间碎片的空间分布情况。在距离地面750 ～1 000 km 高度带是空间碎片最拥挤的区域;在1 400 ～1 500 km 高度处、半同步轨道区域以及地球同步轨道区域也有显著的碎片高密集度，这是由此区域的高利用率以及低大气阻力所致。在300 km 以下区域，由于大气阻力的原因，空间碎片的轨道寿命很短，使得空间碎片总数迅速减少，其空间密度分布很小。

1.4 空间碎片运动特性

空间碎片在有心力场的作用下以椭圆轨道绕地球运行，其轨道可通过各种观测手段进行探测，因此轨道根数可以被确定。有了轨道根数，关于空间碎片的在轨运动参数即允许周期、轨道任意点的时间、速度、倾向等均可求出。由于空间碎片除了受地球引力外，还会受大气阻力、太阳光摄动、日月引力等多种摄动力的影响，会导致其轨道根数发生变化［4］。为便于问题讨论，本研究中忽略此类摄动力对空间碎片轨道根数的影响。

2 在轨拦截器空间碎片碰撞概率建模

2.1 空间碎片对拦截器破坏影响分析

经计算，一颗直径为3 cm，以10 km/s 的速度运动的空间碎片，所具有的动能与一个以100 km/h 速度运动的保龄球的动能一样大。这些空间碎片如果与高速运行的拦截器相撞，会对其造成严重损坏，影响拦截器正常飞行，降低拦截器遂行任务的能力，所以必须进行在轨拦截器和空间碎片碰撞概率建模。

2.2 拦截器和空间碎片位置确定

2.2.1 拦截器轨道运动任意时刻位置确定

拦截器在空间的轨道运动方程为

式中:P 为半通径;f 为真近点角。

由于拦截器轨道根数可以确定，故可以求出拦截器任意时刻t 时的空间位置(x，y，z)，图2 所示为拦截器位置在天球上的关系，图2 中s 点位拦截器在天球上的投影，Ω 为升交点赤经，i 为轨道倾角，u 为纬度幅角，由球面三角关系可得［5］

图2 拦截器的球面关系

2.2.2 空间碎片轨道运动任意时刻位置确定

进行拦截器空间碎片碰撞概率计算，所研究的是国际上已进行跟踪测定的空间碎片，可以确定空间不同区域碎片的数目和每个碎片的轨道根数，假设在拦截器飞行通道内，可能与之发生碰撞的空间碎片有N 个，这N 个空间碎片的运动方程可以逐一确定

同理，根据式(2)可以确定每一个空间碎片在任意时刻t时的位置:

式中，n=1，2，3，…，N。

2.3 碰撞危险性判据确定

拦截器和空间碎片碰撞概率，其实质是拦截器和空间碎片在某一时刻的相对距离小于等效半径之和的概率，但由于测量和计算误差以及空间其他摄动力的干扰，会导致拦截器和空间碎片的轨道计算存在误差，只能给出碰撞的危险程度，因此需要对碰撞危险性判据进行研究。

2.3.1 传统碰撞判据分析

目前国际上碰撞预警的判据有BOX 判据和碰撞概率判据2 种。BOX 判据其本质含义是统一考虑航天器与空间飞行体的误差，把位置误差的分布平均化，当空间飞行体进入航天器周围的BOX 区域以内时，表示会发生空间飞行体与航天器的碰撞事件，否则不存在碰撞危险，即把碰撞事件简化成0 -1 事件。例如美国航天飞机将航天器沿迹方向±25 km，垂直于沿迹方向及轨道平面的外法向±10 km 作为预警区域，当空间飞行体进入这一区域时即发出预警。

碰撞概率判据综合考虑航天器和空间飞行体各自的误差，并把各自的误差假设成正态分布模式，然后综合考虑其他交会因素来计算碰撞风险。BOX 判据具有普适性的优点，对任何轨道类型和任何航天器均适用，但缺点是方法过于保守，误警率很高;碰撞概率判据则是针对BOX 判据的缺点而提出的，能避免很高的误警率，但其建立在大量误差的基础上，对误差数据的依赖程度很高，而且模型复杂，计算量很大。

2.3.2 球形判据建模

根据BOX 判据和概率判据的优缺点，为简化模型和快速计算，提出球形判据，即设定危险交会距离ΔL，当拦截器与空间飞行体的距离小于ΔL 时即可认为存在碰撞危险。基于数值法的碰撞预警精度主要取决于时间步长tn以及危险距离LDanger，当tn取值太大时可能会引起漏报，tn取值太小时会使预警时间增加;当LDanger取值太大时容易引起虚报，取值太小则可能会引起漏报，因此必须确定合适的时间步长和危险距离。

确定了拦截器的飞行管道后需要以飞行管道中心线上的任意一点为球心构建一个圆球体，使得拦截器运行至此处时只要圆球体内没有空间碎片就可以保证此刻拦截器的安全。圆球体的半径R1是需要考虑的关键。

球体半径R1的确定主要来源于以下3 个因素:

1)空间飞行体半径。只要空间碎片触碰拦截器就认为是发生了碰撞，如此空间碎片半径就成了需要考虑的因素之一。为确保所构建的球体能够保证拦截器的安全，不妨选取半径最大的空间碎片为模板，令其半径为Rmax;

2)拦截器自身尺寸。同样，只要空间碎片与拦截器的外表面接触就算发生了碰撞，由考虑到拦截器在飞行中的姿态各异，故选取拦截器最大长度的一半作为参考标准，令拦截器长度为l;

3)空间碎片轨道误差。受观测水平影响，对空间碎片的轨道预报必然存在误差。空间飞行体不仅受地球引力作用，还受到其他星球的引力及大气阻力、太阳光压等作用，因此对空间碎片的轨道预报必然存在误差，在此假设为d。

综上所述，可得到基于某个拦截器轨道所需考虑的圆球体半径R1应满足

但由于拦截器轨道本身是有误差的，除了受地球引力外，还会受大气阻力、太阳光摄动、日月引力等多种摄动力的影响，会导致其轨道根数发生变化，所以实际需要考虑的是一条以解算出的标准轨道为轴心，R0为半径的弯曲状圆柱体轨道，所以需要判断是否有空间碎片的安全分析管道半径ΔH 应该为管道半径R0与圆球体半径R1之和，即

通过上述模型可构建拦截器的空间安全飞行管道，即以解算的标准轨道为管道中心，ΔH 为管道半径的弯曲状柱体。接下来只需考虑此管道中是否存在空间碎片即可判断拦截器空间分析的安全性。

由于R0和d 的数量级一般为千米级，而l 和Rmax的数量级一般为米级甚至是分米级，因此拦截器和空间碎片的尺寸可以忽略不计，即

由此认为，当拦截器与空间碎片的最短距离小于LDanger时认为拦截器与空间碎片发生碰撞。

2.4 在轨拦截器空间碎片碰撞概率模型

2.4.1 搜索时间步长确定

时间步长是计算在轨拦截器空间碎片碰撞概率的重要参数。选取步长过大，则可以节省运算时间，但可能会导致漏掉部分危险飞行体;选取步长过小虽然可以保证预警的精度，但会占用过多的计算资源，使计算量剧增。因此为了节约运行资源并保证预警精度和效率，必须选取适当的搜索时间步长。

在碰撞预警模型中使用的是球形区域判定法，假定已知某一空间飞行体穿过以拦截器为质心的球形区域，如图3所示。

图3 空间碎片穿越球形区域示意图

假定反卫拦截器与空间碎片的相对速度为Vds，由于空间碎片相对拦截器高速运动，平均速度达10 km/s，因此在某一特定的球形区域内，可认为空间碎片相对拦截器做匀速直线运动。空间碎片在球形区域内的逗留时间tds满足:0 ≤tds≤2ΔH/Vds，而空间碎片可能从任一方向进入球形区域，因此可将进入角度θds看出随机变量，且由于各方向进入的可能性都相同，从而可认为θds服从均匀分布。逗留时间tds是θds的函数，显然tds在0 ～π/2 和π/2 ～π 之间具有对称性，因此可将θds看出0 ～π/2 之间的均匀分布，其概率密度函数为

而逗留时间

由随机变量的函数分布规律，得逗留时间的概率密度函数为

由统计学可知，当某事件发生的概率达到5%时，可认为该事件为小概率事件，所以最小逗留时间Δtmin满足

即

其中Δtmin即为搜索时间步长，以Δtmin为搜索时间步长时误警率等约于5%，由此保证了预警结果准确可靠。

2.4.2 碰撞概率计算流程

利用计算机针对可能与拦截器发生碰撞的N 个空间碎片依次进行搜索，在计算单个空间碎片是否与拦截器相撞时，选取Δtmin为搜索时间步长，在t≤T0的时间段内进行搜索判断，T0为在轨拦截器运行周期T1和空间碎片周期T2的最小公倍数，选择T0作为搜索周期可以保证筛选结果的可靠性，具体流程如图4 所示。

图4 拦截器空间碎片碰撞概率计算流程

在搜索完N 个空间碎片后，可以得出拦截器与该区域空间碎片的碰撞概率为

3 算例分析

为了验证已构建碰撞概率模型的合理性，利用TLE 数据作为碰撞预警仿真在轨运行的卫星以及空间碎片数据来源，对5 个卫星及其周围的5830 个空间碎片的运动进行了搜索计算，软件环境为VC6.0 ++，硬件配置为Xeon(R)CPU、主频2.00 GHz，2G 内存。碰撞预警计算结果如表1 所示。

表1 碰撞预警计算结果

由表1 可以得出:

1)在轨运行的航天器与10 cm 以上的空间碎片存在碰撞风险，为确保在轨拦截器安全飞行，对其进行碰撞预警分析是很有必要的。

2)对在轨运行的航天器进行危险空间碎片筛选，其用时大概在5 ～10 min，与其他传统碰撞判据用时相比较，缩短了计算用时，说明本研究提出的球形判据是科学合理的。

4 结论

针对在轨拦截器与空间碎片碰撞问题，提出了危险空间碎片球形判据和搜索时间步长确定方法，根据碰撞概率计算流程，对5 个卫星及其周围的5 830 个空间碎片进行了搜索计算，可以剔除90%以上的空间碎片且用时较短，其计算结果与实际情况较为吻合，验证了模型的科学性和合理性，为了使计算结果更接近真实情况，需要选取合适的危险距离以及时间搜索步长进行碰撞预警。本研究定义的在轨拦截器与空间碎片碰撞概率可以较为直观地反映拦截器在空间飞行中可能遇到的安全威胁，在对拦截器和空间碎片进行碰撞预警时，可以用这样的算法先进行粗略筛选，然后用高精度的计算模型作最后的判别。

［1］冯昊，向开恒.美俄卫星碰撞事件验证及其对我国卫星的影响分析［J］.航天器工程，2009(5):20-27.

［2］霍江涛，秦大国，祁先锋.空间碎片概况研究［J］.装备指挥技术学院学报，2007(5):56-60.

［3］林来兴. 空间碎片现状与清理［J］. 航天器工程，2012(3):1-10.

［4］庞宝君，许可.空间碎片数据形式及轨道演化算法［J］.上海航天，2011(1):50-55.

［5］孙家栋，戚法轫，屠善澄. 航天器轨道动力学与控制［M］.北京:中国宇航出版社，2005.