Hermite-Hadamard模糊积分不等式的推广

葛 莉 ，姚云飞 ，刘 敏

(阜阳师范学院 数学与统计学院，安徽 阜阳 236037)

Hermite-Hadamard模糊积分不等式的推广

葛 莉 ，姚云飞 ，刘 敏

(阜阳师范学院 数学与统计学院，安徽 阜阳 236037)

研究Hermite-Hadamard模糊积分不等式的又一形式，估计Hermite-Hadamard模糊积分不等式的下界，举例说明下界的有效性。

模糊测度; 模糊积分; Hermite-Hadamard不等式

1 引言

模糊测度和模糊积分最初由学者Sugeno[1]提出，故模糊积分又称Sugeno积分。模糊积分受到了众多学者的关注，与模糊积分有关的一些不等式得到广泛研究。Ralescu和Adams[2]给出了几个模糊积分的等价定义，Wang和Klir[3]对模糊测度和模糊积分理论进行了概述。

近年来，许多学者研究了一些经典不等式在模糊积分下的形式[3-12]。 其中Caballero和Sadarangani[9]给出了模糊积分下的Hermite-Hadamard不等式，对函数在区间[a，b]上的模糊积分的上界进行估值。本文拟对[9]中的积分下界进行估值。

下面介绍一些基本概念和性质，详细内容见 [3]。

设∑为R的子集构成的σ-代数，μ：∑→[0，+∞)为非负的广义实值函数，称μ为模糊测度当且仅当

(1)μ(φ)=0；

(2)E,F∈∑且E⊂F，总有μ(E)≤μ(F)；

(4){En} ⊂∑，若E1⊃E2⊃…⊃En⊃…，且μ(E1)<+∞，则

如果f是定义在R上的非负实值函数，对于α>0，Lαf={x∈X|f(x)≥α}={f≥α}表示f的α-水平集，L0f={x∈X|f(x)>0}=supp(f)表示f的支集。特别地，当α≤β时，{f≥β}⊂{f≥α}。

若μ为R上的模糊测度，定义Fμ(R)={f:R→[0，+∞)|f∈μ(R)}。

若μ为(R，∑)上的模糊测度，如果f∈Fμ(R)，A∈∑，则定义在A上的关于模糊测度下函数f的模糊积分为

其中，∨，∧分别为在[0，+∞)上的上、下确界。

模糊积分的以下性质可参见文[3]。

性质1 如果μ为(R，∑)上的模糊测度，f，g∈Fμ(R)，A∈∑，则

(1)(S) ∫Afdμ=μ(A)；

(2)(S) ∫Akdμ=k∧μ(A)，k为非负常数；

(3) 若在A上f≤g，则(S)∫Afdμ≤(S)∫Agdμ；

(4) 若A⊂B, 则(S)∫Afdμ≤(S)∫Bfdμ；

(5)μ(A∩{f≥α})≥α⟹(S)∫Afdμ≥α；

(6)μ(A∩{f≥α})≤α⟹(S)∫Afdμ≤α；

(7) (S)∫Afdμ<α⟺∃γ<α, 使得μ(A∩{f≥γ})<α；

(8) (S)∫Afdμ>α⟺∃γ>α, 使得μ(A∩{f≥γ})>α。

注 考虑到A上f的分布函数F,F(α)=μ(A∩{f≥α})，根据性质1(5)和(6)，可以得到

F(α)=α⟹(S)∫Afdμ=α。

因而，从数值计算的角度，模糊积分可以通过求解方程F(α)=α计算。

Hermite[13]和Hadamard[14]给出了古典的Hermite-Hadamard不等式:

(1)