Heston随机波动率市场中带VaR约束的最优投资策略

曹 原

(中国人民大学 财政金融学院，北京 100872)



Heston随机波动率市场中带VaR约束的最优投资策略

曹 原

(中国人民大学 财政金融学院，北京 100872)

本文研究了Heston随机波动率市场下, 基于VaR约束下的动态最优投资组合问题。

假设Heston随机波动率市场由一个无风险资产和一个风险资产构成,投资者的目标为最大化其终端的期望效用。与此同时, 投资者将动态地评估其待选的投资组合的VaR风险,并将其控制在一个可接受的范围之内。本文在合理的假设下,使用动态规划的方法,来求解该问题的最优投资策略。在特定的参数范围内,利用数值方法计算出近似的最优投资策略和相应值函数, 并对结果进行了分析。

最优投资组合;Heston随机波动率;动态VaR约束;动态规划

0 引言

自从Markowiz的均值-方差理论奠定了现代数量金融的基础以来,采用方差度量风险存在一定的不合理性,比如方差将高于均值的波动也计算为了风险,受到了众多学者的质疑。近些年来,众多新的风险评估指标如VaR(value at risk),CVaR(conditional value at risk), CaR(capital at risk), EaR(earning at risk)等都被广泛地应用于理论研究和实践中。

Basak and Shapiro[2]用鞅方法研究了常数VaR约束下的最优投资组合问题。Cuoco and He[3]利用动态规划的方法来求解动态再评估(reevaluated)的VaR和TCE (tail conditional expectation)约束下的最优投资组合。所谓动态再评估方法,即在每个交易期对风险进行持续的评估,并要求其始终处于一个合理的范围之内,我们称之为动态的VaR约束。此外,Yiu[4]分析了动态VaR约束下的最优投资消费问题,并且利用数值方法给出了最优策略和值函数的近似解。

在实际金融实务中,大多数金融机构在每个交易日都至少重新对投资组合进行一次风险评估*1995年4月的巴塞尔提案提出，要求银行等金融机构至少每日重新评估它们的VaR风险，且对资产要求设定为之前60个工作的日均VaR的最大值。说见Jorion(2001)pp.64- 65.;此外,若风险约束仅仅是初始时刻选定的一个常数,将出现如Cuoco and He[3]文中指出的财富较少时,约束条件无效的情况发生,所以取随时间和财富变化的风险上限更为合理。

近年来,一些学者拓展了Black-Scholes 模型,提出了多种更为贴近现实的随机波动率模型,如Stein and Stein[5]提出的Stein-Stein模型;Heston[6]提出的Heston模型。同时,一些学者基于以上随机波动率模型,研究了在对应金融市场下的最优投资问题。例如, Liu and Pan[7]研究了波动率满足Heston模型时含衍生产品的金融市场的最优资产配置问题;Chacko and Viceira[8]在Heston波动模型下最优投资-消费问题的显式解;Hsuku[9]考虑了具有连续时间递归偏好效用的投资者在带非冗余的衍生证券的Heston随机波动率市场中的最优投资组合问题,并得到了最优投资策略在特殊参数下的解析式与一般情形下的数值解。伊博等[10]研究了Heston随机波动率市场中的最优收敛策略问题, 并考虑了在有限卖空约束下投资者的最优投资问题。

综合以上两方面,有些学者同时研究了随机波动率市场中带VaR约束的最优投资问题,例如,Pirvu[11]研究了系数随机的金融市场中,带动态VaR约束的投资组合问题。他利用Ito积分的鞅性及对数效用函数的特殊性质,将随机控制问题转化为确定性问题进行求解。李仲飞和李克勉[12]引入了非冗余的衍生证券将市场完备化,使用类似于Pirvu[11]的方法,求出了在Heston随机波动率模型下,受动态VaR风险约束时,投资者的最优资产配置策略。伊博等[13]研究了Stein-Stein 随机波动率模型下,带VaR约束的最优投资问题,并得到了在该假设下,投资者最优投资策略及相应值函数的显式解。

就我们所知,目前还没有文献在CRRA效用函数体系下,同时考虑具有动态VaR风险约束与Heston随机波动率的金融市场中的最优投资问题。这主要因为,Heston随机波动率市场中带动态VaR约束的最优投资策略无法求出显式解,必须依赖于数值方法进行近似计算。本文拟在现有文献的基础上,同时考虑动态VaR约束和Heston随机波动率两重要因素。假设最大化终端财富的期望幂效用为投资者的目标,风险资产价格过程服从Heston模型。本文研究受动态VaR约束下的最优投资组合问题,并运用动态规划原理结合Yiu[4]提出的数值方法,近似地求得投资者的最优投资策略和值函数。

本文结构如下:第二部分描述Heston随机波动的金融市场的数学模型。第三部分回顾无约束时的最优投资组合问题。第四部分定义动态VaR约束。第五部分推导了最优投资策略。第六部分给出数值算法和相应计算结果及相关经济含义。第七部分是总结。

1 市场模型

我们考虑如下的随机波动率市场,[0,T]是其有限交易区间, 给定完备的赋流概率空间(Ω,F,{Ft},P),其中{Ft}是布朗运动Zs(t),Zυ(t)生成的自然域流。假设投资者可投资于两种金融资产:一种是无风险资产,如债券,其价格过程B(t)满足

dB(t)=B(t)rdt,B(0)=B0

(1)

其中r>0, 表示无风险利率; 另一种是风险资产, 如股票, 其价格过程S(t)将满足如下Heston模型

(2)

风险资产价格的波动率为V(t), 其中V(t) 满足一个均值-回复过程

(3)

(4)

其中W0为初始财富。

2 无VaR约束时的最优资产配置

不考虑VaR约束, 假设投资者具有如下的效用函数

(5)

常数γ是投资者的相对风险厌恶系数, 其中Et[·]=E[·|Ft],γ∈(0,1)∪(1,+∞)，W(T), 是投资者的终端财富. 在随机的投资机会集下, 定义该问题的最优值函数为

(6)

根据Bellman原理, 相应的Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)方程为

(7)

定理1 当投资者不考虑VaR约束问题下,其在Heston随机波动率市场中,最优投资策略如下:

值函数有如下形式,

(8)

其中

(9)

(10)

(11)

(12)

3 动态VaR约束

在无约束情形下, 最优投资组合问题存在解析解.但更为实际的情况是, 投资者将会评估其投资风险, 将其投资策略限制在一个可以接受的风险承受范围之内.类似于Cuoco and He定义t 时刻的动态VaR如下

VaRtα,π=inf{L≥0:P(exp(τr)Wπ(t)-Wπ(t+τ)≥L|Ft)<α}

(13)

其中1-α为给定的置信水平，可以这样理解该定义:在事先给定的置信水平下,τ时间内财富损失的最大值。为避免繁琐的讨论,假定α<0.5。

根据财富方程可得

(14)

考虑时间区间[t,t+τ],类似可得到

(15)

根据Pirvu,在很短时间τ内, 忽略π(t)和V(t) 的变化,于是

(16)

(17)

其中N-1(α)为正态分布的α分位数,x+=max(0,x)。由于在受约束情形下,对投资于风险资产的比例进行了限制,导致原先的最优投资策略在此未必是可行的,将定理1中的最优策略代入,如下情形将不会受VaR约束:

(18)

其中W0为初始财富。

4 最优性条件

我们利用动态规划方法求解以上带VaR约束的最优化问题,值函数可写为

(19)

(20)

利用Langrage函数法,将约束条件引入HJB方程

(21)

由一阶条件和Kuhn-Tucker条件,我们得到如下的最优性条件:

(22)

(23)

λ≤0

(24)

从中可以求出最优策略π*和λ*。

5 数值算例

在第三部分中,我们得到了无约束情形下的值函数的解析式。当VaR约束被附加的时候,假设值函数具有如下形式:

(25)

H和h的形式将不仅仅依赖于时间t,而同时依赖于状态变量w,υ。但是我们在后面的数值算例中会发现,对于某些合理的参数而言,H,h关于状态变量w,υ的变化是微小的。根据动态规划原理,最优化条件可写为:

(26)

其边界条件为

(27)

其中

(28)

将假设的值函数形式代入HJB方程,整理后,我们得到如下两个方程:

γht+(1-γ)γ+γκηH=0

(29)

我们假设非限制问题的解为我们迭代算法的初始解,将w,υ,t离散化为Nw×Nυ×Nt个格点,我们计算值函数的算法如下:

步骤2 对于w=[0,Δw,……,NwΔw],υ=[0,Δυ,……,NυΔυ],t=[0,Δt,……,Nt-1Δt,T],判定

(30)

若成立,取πk+1=πk,若不然求解

(31)

(32)

解出λk+1,πk+1。

步骤3 对于w=[0,Δw,……,NwΔw],n=Nt,Nt-1,……,0 解

(33)

步骤4 回到步骤2, 并取k=k+1直到收敛。

图1 H关于波动率v的变化趋势

图2 H关于财富率w的变化趋势

图3 h关于波动率v的变化趋势

图4 h关于财富率w的变化趋势

图5 最优投资策略关于剩余投资时间T-t的变化趋势

6 总结和展望

随着量化金融方法在实务操作中使用越来越频繁,对量化的精确性也提出了越来越高的要求。 实证研究已经证实:现实金融市场的波动率在一般情形下并不是一个常数,而应满足一个随机变量。Heston随机波动率假设作为全局随机波动率中最主流的观点,已经在学界和业界被广泛采用,故而研究Heston随机波动率市场中的最优投资组合问题给实务操作者提供了更为准确的量化投资辅助。另一方面,无论对于机构投资者或者个人投资者来说,控制其投资组合的风险都应作为他们投资金融市场的基本需求。甚至对于金融市场监管者,为了维护金融市场稳定和大多数投资者利益,也应对大型投资者(主要为机构投资者)的投资组合进行一定的限制。基于现实中的实际要求,研究被广泛采用的VaR约束颇具实用价值,并为金融市场风险管理提供了相应的理论支持。因此本文结合两方面,研究了金融市场满足Heston随机波动率模型时,带动态VaR约束的最优投资组合选择问题,利用动态规划和数值方法,在一定的参数条件下,近似地解出了最优投资策略并给出了数值算例。但是, 本文的方法需要对参数施加一些限制,即需要当前财富始终处于一个较高的水平,并非适用于所有的参数,故而对大型投资者尤其机构投资者,会具有更大的指导意义。对于更广泛的参数,还需要探索更为普遍的算法。

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[14] Jorion P, 2001. Value at risk[M]. Mcgraw-Hill. New york.

Optimal Inverstment Strategy with Heston Stochastic Volatility and Dynamicvar Constraint

CAO Yuan

(TheSchoolofFinance,RenminUniversityofChina,Beijing100872,China)

This paper considers an optimal portfolio choice problem under Heston stochastic volatility model and a dynamic VaR constraint. Assume the financial market consists of one risky asset, like stock, whose price satisfies a Heston stochastic volatility model and one risk-free asset, like bond. The investor aims to maximize the expected power utility of the terminal wealth. At the same time, the investor hopes to manage the portfolio risk by a dynamic VaR constraint, which means she will compute the VaR of her portfolio continually. Using the stochastic dynamic programming approach, we solve the problem numerically. Finally, economic implications are proposed to illustrate the impacts of Heston stochastic volatility and dynamic VaR constraint on the investor’s optimal strategy. Our numerical experiment shows that the dynamic VaR criterion is an effective tool to manage the risk during the whole investment period.

portfolio optimization; Heston stochastic volatility; dynamic VaR constraint; dynamic programming approach.

2013- 07-14

曹原(1989-)，女，江西南昌人，博士，研究方向：金融学。

F380

A

1007-3221(2015)01- 0231- 06