一类解析函数的性质

(滁州职业技术学院基础部，安徽 滁州239000)

·基础学科·

一类解析函数的性质

郭 栋，黄金超

(滁州职业技术学院基础部，安徽 滁州239000)

令H表示形如

f(z)=z+a2z2+a3z3+…

(1)

定义1 设λ≥0，α>0，定义

(2)

其中-1≤B

在U内有一个单叶解，其中

(3)

如果φ(z)=1+c1z+c2z2+...在U内解析且满足

(4)

则

φ(z)q(z),

且q(z)是(4)的最佳控制。

引理2[2]设-1≤B1≤B2

引理3[3]设f(z)∈H,g(z)∈H,F(z)∈K,若f(z)F(z),g(z)F(z),0≤λ≤1,则

λf(z)+(1-λ)g(z)F(z)。

引理4[4]假设p(z)=1+c1z+c2z2+...在U内解析,且p(z)≠0(z∈U)。如果存在一个点z0∈U满足

则

1 主要结果及证明

(5)

(6)

且q(z)是(5)的最佳控制。

(7)

则p(z)=1+αa2z+…在U解析，对式(7)两边取对数导数，得

(8)

由式(1)和(8)得

(9)

则p(z)满足微分从属(4)，所以由引理1，得

p(z)q(z)。

(10)

其中q(z)由式(6)给出，A=1-2ρ，B=-1。

因为-1≤B1≤B2

(11)

(12)

同时

(13)

定理3 假设α>0,λ>0,γ>0。如果f(z)∈H满足

(14)

证明假设

其中φ(0)=1。由式(14)易得φ(z)≠0(z∈U)。事实上如果φ(z)在z=z1∈U有一个m级零点，则φ(z)能写成如下形式：

φ(z)=(z-z1)mq(z),(m∈N+={1,2,3,...}),

其中φ(z)是U内的解析函数且φ(z1)≠0，所以有

(15)

然而，当z→z1时，式(15)的虚部取到任意小的值，这与(14)相矛盾，所以，若存在一点z0∈U满足

则有p(z0)≠0。由引理4和式(15),得：

则与式(14)相矛盾。所以有Reφ(z)>0(z∈U),即f(z)∈α-S*。

定理4 假设α>0,0≤ρ<1.如果f(z)∈H满足

(16)

(17)

R(λ,ρ)的界是最佳的。

证明由式(16)得

(18)

其中u(z)=1+u1z+u2z2+...是U内解析的正实部函数。对式(18)两边对数求导，得

(19)

在式(19)中应用我们熟悉的估计[4]

得

其中R(λ,ρ)由(17)给出。

要证明R(λ,ρ)的界是最佳的，假设f(z)∈H且满足

注意到

则R(λ,ρ)的界是最佳的。定理得证。

(20)

并且不等式是精确的。

1+n(α+nλ)an+1zn+…

1+(A-B)z+…,

所以由引理5和-1≤B

(21)

3 结论

本文利用对数求导法得到一类新的函数类, 然后通过利用Briot-Bouquet微分从属的方法研究其一些性质。本文给出新的函数类的构造过程,有利于新的函数论的研究。

[1]Miller S S，Mocanu P T. Univalent Solutions of Briot-Bouquet Differential Subordination[J]. Differential Eqns, 1985,58:297-309.

[2]刘名生.关于p-叶型β级近于凸函数类的一个子类[J].数学研究,1997,30(1):102-104.

[3]刘名生.关于某类解析函数[J].华南师范大学学报:自然科学版,2002(4):15-20.

[4]Macgregor T H. The Radius of Univalence of Certain Analytic Functions[J]. Proc Amer Math Soc, 1963,14:514-520.

[5]Rogosinski W W. On the Coefficients of Subordinate Functions[J]. Proc London Math Soc, 1943,48:48-82.

(编校：叶超)

PropertiesforaSubclassofAnalyticFunctions

GUO Dong,HUANG Jin-chao

(FoundationsDepartment,ChuzhouVocationalAndTechnicalCollege,Chuzhou239000China)

2014-03-18

安徽省高校自然科学基金资助项目(KJ2013Z252);安徽省高等学校省级质量工程项目(2014jyxm515)