一类非线性竞争系统的Turing分岔

王瑞平(上海第二工业大学理学院,上海201209)

一类非线性竞争系统的Turing分岔

王瑞平
(上海第二工业大学理学院,上海201209)

摘要:为了说明地区间迁移的重要性及其带来的影响,首先在竞争Lotka-Volterra系统的基础上建立迁移竞争模型。然后借助于动力学稳定性理论,研究了迁移对系统的每个平衡态的局部动力学稳定性的影响,得出两地间的迁移在四维竞争Lotka-Volterra系统中可以引起的Turing分岔的结论,并给出该系统在共存平衡点附近经历Turing分岔的临界条件。最后结合现实分析,得出结论:迁移是非常重要而不应该被忽视的因子,同时迁移在改变边界平衡态稳定性中的作用也是比较有限的。

关键词:Turing分岔;Lotka-Volterra系统;迁移

0　引言

19世纪20年代,Lotka和Volterra为了研究生物群体的发展演变分别独立地提出了Lotka-Volterra系统。Zeeman等[1]把这类系统分为3类:竞争系统、合作系统以及捕食-食饵系统。其中,竞争的Lotka-Volterra系统竟是Smale竞争系统的最简单形式。而Smale竞争系统是具有普适性的,因此竞争Lotka-Volterra系统就成了许多学科研究的热点之一[2-3]。

另一方面,随着全球经济的一体化,使得研究具有迁移的竞争Lotka-Volterra系统成为必然,并得出交叉迁移在二维竞争Lotka-Volterra系统中只可能引起静态分岔[4-6],而在三维竞争Lotka-Volterra系统中只可能引起Hopf分岔[7-8]的结论。遗憾的是,以前的研究结果都不能说明区域迁移能引起复杂的动力学变化,这有点不合实际。本文通过研究具有迁移的四维竞争Lotka-Volterra系统的Turing分岔发现:在两地间的竞争Lotka-Volterra模型中,交叉迁移不仅不能把不稳定的平衡点转化为稳定的平衡点,同时也不能改变一些边界平衡点的稳定性。……