一类奇异拟线性椭圆型方程的正整解

许兴业（广东外语外贸大学 南国商学院公共课教学部，广东广州510545）

一类奇异拟线性椭圆型方程的正整解

许兴业
（广东外语外贸大学 南国商学院公共课教学部，广东广州510545）

摘要：研究一类形如div（|Du|p-2Du）=f（|x|，|Du|）u-β的奇异拟线性椭圆型方程的正整解问题，得到了2个解的存在性及性质的定理.

关键词：奇异拟线性椭圆型方程；正整解；闭凸子集；等度连续；不动点定理

关于非线性椭圆型方程正整解存在性的研究已经取得丰硕成果［1-5］，所研究的方程左边多为形如Δu，Δ2u及Δmu的调和，双调和及多重调和方程.但对形如下面的奇异拟线性椭圆型方程：

1主要结果

定理1设f（r,v）满足：

（I）f（r,v）关于v∈R+=［0，∞）是增函数；

（III）存在常数c＞0使：

证令u（x）=y（|x|），则方程（1）可归结为常微分方程的初值问题：

其中øp（y）=|y|p-2y，η为待定常数.易见方程的解（4）等价于下面积分方程的解［6］：

从而只需讨论积分方程（5）的可解性.由（II）知：

其中c是（III）中出现的常数，且对每一当时有：

由（III）知：

于是由Lebesgue控制收敛定理得：

由（6）式知可以选择充分小的常数η＞0使得：

记C1［0，∞）是定义在［0，∞）上的所有连续可微函数做成的空间，依通常的方法引入拓扑C1［0，∞）.作集合：

则Y是C1［0，∞）的闭凸子集.定义映射Ψ∶Y→C1［0，∞）如下：

在这里补充定义：

下面需要证明映射Ψ是Y→Y的连续映射且ΨY是相对紧的.

（i）ΨY⊂Y.

对∀y∈Y，由 （7）和（8）式得：

又由（8）式知，当r＞0时：

注意到（10）式中：

所以Ψy⊂Y.

（ii）Ψ是连续映射.

维非零向量， 求矩阵：

设yi∈Y（i=1，2，…）且依C1［0，∞）的拓扑yi收敛于y.对∀r∈［0，∞）由（8）、（10）式得：

由yi→y，|yi′|→|yi′|（i→∞）及函数f（r,v）的连续性，推出映射Ψ依C1［0，∞）拓扑意义把Y连续映射到Y.

（iii）Ψy是相对紧的.

于是（13）式对任意r≥0成立.从而在［0，M］上对（øp（（Ψy）′（r）））′有估计式（常数）从而在［0，M］上有估计……