从一个错题中引出的思考

雷林芳

笔者在进行八年级上册第五章一元一次不等式的错题分析课的教学过程中，从一道错题的分析中，随着教学的深入引发了一系列的思考，发现借助数轴在解决不等式的问题上，特别是在不等式点的取舍方面作用很大，更加体验到了数形结合思想在我们的不等式的作用

案例1：已知不等式3x-m≤0有1，2的两个正整数解，则m的取值范围是_______

错误答案：大部分不知如何下手，或6

对于此题错题比较突出，作业中显示学生基本无法解答，或者解答的答案在点的取舍问题上，从而成了一道难题，因此对此进行了一节错题分析课。那在第一次的教学过程中，笔者采用了以问题式的形式引导提出：①请用含m的代数式表示不等式的解；②这个不等式有两个正整数的解，那它的解应该介在什么范围里面；③那在2和3这个整数上符合题意吗？通过这三个问题引导学生思考解决了此题，学生通过三个问题的思考似乎都理解，然而在下面的变式中检测发现，学生只是通过三个问题理解了解题的过程，但在细节方面（点的取舍方面）取还是舍仍模糊不清，导致与正确答案差之毫厘失之千里，正确的人员不超过5%，整个错题教学过程失败。为了更好的解决这个问题，笔者再一次对错题及其变式进行研究，发现关键的问题在点的取舍上，而如果只是借助单纯的问题和数字研究，很抽象，大部分学生还达不到这样的思维能力，于是我选择了第二次教学，借助数轴，从数轴上分析点的取舍问题更直观，更容易得出答案，从而突破了这个难点。

正确解法：解：解不等式，得：。

因为不等式3x-m≤0有1，2的两个正整数解

由数轴上分析，得

变式1：已知已知不等式3x-m<0有1，2的两个正整数解，则m的取值范围是_______

正确解法：

解不等式，得：。因为不等式3x-m<0有1，2的两个正整数解

有数轴上分析，得

变式2：已知已知不等式3x-m≥0有两个负整数解，则m的取值范围是_______

正确解法：

解：解不等式，得：。因为不等式3x-m≥0有两个负整数解

由数轴分析，得

上述三个问题是从错题一引出的2个变式，分别在点的取舍上作了改编，但从数轴的分析上看就很明显这个点到底是取还是舍，直观清晰的分析出来，避除了原本思路混乱的局面，体现了数形结合的优势。

改编1：若不等式组有解，则m的取值范围是_______________

错误答案：或或

剖析：不等式组解的情况大部分学生基本都是利用了口诀“大大取大，小小取小，大小小大介中间”，然而在考虑的过程中谁大谁小就开始搞混淆或者考虑清楚了但在等号的位置取舍上开始思绪混淆，模糊不清，导致了错误答案，那怎么样避免这个问题的产生，从而更好的解决呢？首先还是将不等式组化简，然后借助数轴。

正确解法：解不等式组，得： 从数轴上分析，得

变式1：若不等式组有解，则m的取值范围是_______________

正确解法：解：解不等式组，得： 从数轴上分析，得

变式2：若不等式组有解，则m的取值范围是_______________

正确解法：解不等式组，得： 由数轴分析，得

上述三个此从不等式的解引申到了不等式组有解的情况，大部分学生会利用口诀解决问题而忽略了点的取舍问题，通过两个变式的变化过程中笔者均用了数轴的方法来展现了不等式组解公共部分的情况，使待定的系数及点的取舍问题都展露了出来，又一次体现了数形结合思想的优势。

【教学反思】

（1）本节课的设计从学生一道错题引出的思考设计目的是将学生的知识漏洞弥补，在设计过程中通过变式训练和改编题相结合，从不等式问题到不等式有解问题再到不等式有解问题，设计从简到难，通过学生再学习，再反思，再体验的过程，使学生对知识的理解更加深刻，达到了设计意图

（2）本节课从两种教学方式上的分析比较得出的内容，在教学效果上看，本节课的教学效果基本达到，80%以上的同学能独立解决此类问题，难点得以攻破，特别是在点的取舍问题上，借助数轴分析更加清晰直观。说明了数轴在不等式中的重要作用。同时在学生的解题过程中也感受了借助图形的优势，为数形结合思想的培养增强了意识。

（3）本节课利用数轴解决不等式问题即数形结合思想以形助数的方法，使问题得到了很好的解决，达到了培养提高学生分析问题，解决问题的能力。