离散Boltzmann-BGK方程解的长时间特性研究

徐思齐

(信阳师范学院 土木工程学院, 河南 信阳 464000)

0 引言

为了避免流体力学中对于Navier-Stokes方程的求解，格子Boltzmann方法中利用BGK近似来代替碰撞过程，并通过求解离散速度的Boltzmann-BGK方程来模拟牛顿流体.Cabannes[1-2]研究了离散Boltzmann方程在零解附近的整体解的存在性，在此基础上，Beale[3]研究了离散Boltzmann方程解在时间t→∞时的渐近性质.之后，Kawashima[4]研究了在初值靠近绝对Maxwell量时，离散Boltzmann方程整体解的存在唯一性，并给出了该方程在时间t→∞时解的渐近形式.关于连续情形Boltzmann方程解的渐近行为可参阅文献[5-9].

本文对于离散速度Boltzmann-BGK方程的研究可以通过类似文献[4]中的方法，对其进行Chapman-Enskog展开[2]，得到一阶近似的Euler方程，并对Euler方程的特征域进行分析，得出当时间t→∞时方程解的渐近形式.本文主要以D1Q3模型[10-11]为例，考察当t→∞，碰撞频率取ρ时，离散速度Boltzmann-BGK方程解的渐近性质.首先，通过平衡态分布函数的展开，整理D1Q3模型对应的方程，求得其对应的Euler方程，分析特征域的性质；然后，分析线性化方程组对应的特征值，并验证原方程组解的存在唯一性；最后，给出方程解的渐近形式.

1 Euler方程及其特征域分析

1.1 离散速度Boltzmann-BGK方程及求和不变量

D1Q3模型的离散速度Boltzmann-BGK方程的一般形式为:

(1)

且满足质量守恒与动量守恒:

ρ=∑fi,ρu=∑fiei,i=0,1,2.

对于D1Q3模型,

则方程组(1)可化为:

(2)

考虑其初值问题

(3)

1.2 Euler方程的推导

(4)

可得相应的Euler方程(σj)t+〈VF,ψj〉x=0,j=1,2,即:

(5)

1.3 特征域分析

证明条件(C1)的验证：若存在ψ∈M使得λψ=Vψ,∀λ∈R,则ψ可表示为ψ=c1ψ(1)+c2ψ(2),c1,c2∈R,其中ψ(1)=(1,1,1)T,ψ(2)=(0,1,-1)T为上述求和不变量集合M的一组基,代入λψ=Vψ，则有：

c1(λI-V)ψ(1)+c2(λI-V)ψ(2)=0.

由于

(λI-V)ψ(1)=(λ,λ-1,λ+1)T,

(λI-V)ψ(2)=(0,λ-1,-λ-1)T，

且这两个向量对于任意的λ∈R线性无关，故c1=c2=0,因此ψ=0.

条件(C2)的验证……