部分微分中值定理在证明不等式中的应用

高鹏艳

（山西师范大学教育科学研究院 学科教学〈数学〉）

部分微分中值定理在证明不等式中的应用

高鹏艳

（山西师范大学教育科学研究院 学科教学〈数学〉）

微分中值定理是微积分中的重要组成部分.在微分学中，微分中值定理占有很重要的位置，且在解题中的应用也十分广泛，有些不等式的证明，特别是某些特殊类型的不等式，用初等数学的方法很难达到证明的目的，而用微分中值定理可以实现证明.主要介绍了部分微分中值定理即拉格朗日中值定理、柯西中值定理，不等式的定义及性质以及部分微分中值定理在证明不等式中的应用。

拉格朗日中值定理；柯西中值定理；不等式

一、部分微分中值定理

（一）拉格朗日中值定理

定理2若函数f满足如下条件：

（i）f在闭区间［a，b］上连续；

（ii）f在开区间（a，b）内可导，

（二）柯西中值定理

定理3设函数f和g满足

（i）在［a，b］上都连续；

（ii）在（a，b）内都可导；

（iii）f（′x）和g（′x）不同时为零；

（iv）g（a）≠g（b）,

二、不等式的定义及性质

（一）不等式的定义

用不等号将两个解析式联结起来所成的式子叫做不等式.

（二）不等式的基本性质

1.不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.

2.不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.

3.不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.

三、部分微分中值定理在证明不等式中的应用

（一）利用拉格朗日中值定理证明不等式

拉格朗日中值定理在证明不等式中有着极其重要的作用，它是反映函数与导数之间联系的重要定理，特别是含有两个不等号的，可考虑利用拉格朗日中值定理.具体证明通过对不等式结构的分析，选定一个适当的辅助函数和区间，对公式进行适当的变化，得到所证不等式.

证明：构造辅助函数（ft）=lnt

因为（ft）在闭区间［x，1+2x］上连续，在开区间（x，1+2x）内可导，所以根据拉格朗日中值定理知存在ξ∈（x，1+2x），使

又因为0＜x＜ξ＜1+2x，

例2.证明不等式 sinx-siny≤x-y.

证明：令（ft）=sint，

因为（ft）在闭区间［x，y］上连续，在开区间（x，y）内可导，

即sinx-siny=（x-y）cosξ，

两边同时取绝对值 sinx-siny=x-y·cosξ，

又因为 cosξ≤1，

所以 sinx-siny≤x-y.

（二）利用柯西中值定理证明不等式

柯西中值定理在不等式的证明中有着极其重要的作用，通过对不等式结构的分析，构造某特定区间的函数，使其满足定理的条件，达到证明的目的.

证明：令（fx）=arctanx，g（x）=ln（1+x2）

因为（fx），g（x）在闭区间［x，1］上连续，在开区间（x，1）内可导，f（′x），g（′x）在［x，1］内每一点都不为零，且g（x）≠g（1）

即atctanx-ln（1+x2）＞ln2，

注意1：柯西中值定理是研究两个函数的变量关系的中值定理，当一个函数（不妨设此函数为g（x））取作自变量自身时，它就是拉格朗日中值定理，所以用拉格朗日中值定理能证明的不等式一定能用柯西中值定理来证明，反之则不然，下面举例来说明.

证明：令（ft）=lnt，g（t）=t.

因为f（t），g（t）在闭区间［x，1+2x］（x＞0）上连续，在开区间（x，1+2x）（x＞0）内可导，且g（′t）在［x，1+2x］（x＞0）内每一点都不为零，g（x）≠g（1+2x）.

所以由柯西中值定理知存在 ξ∈（x，1+2x）（x＞0）使得

又因为0＜x＜ξ＜1+2x，

例5.对例2的不等式 sinx-siny≤x-y用柯西中值定理来证明.

证明：令（ft）=sint，g（t）=t.

因为（ft），g（t）在闭区间［x，y］上连续，在开区间（x，y）内可导，且g′（t）在［x，y］内每一点都不为零，所以由柯西中值定理知存在ξ∈（x，y），使得

即sinx-siny=（x-y）cosξ，

两边同时取绝对值 sinx-siny=x-y·cosξ，

又因为 cosξ≤1，

所以 sinx-siny≤x-y.

例6.证明 sinx＜ex-1（x＞0）.

证明：令（ft）=sint，g（t）=et，t∈［0，x］

因为（ft），g（t）在闭区间［0，x］上连续，在开区间（0，x）内可导，且g（′t）在［0，x］内每一点都均不为零，g（0）≠g（x），

所以由柯西中值定理知存在ξ∈（0，y）使得

所以ex-1＞0，即ex＞1，

即 sinx＜ex-1.

注意2：以上的例4和例5说明能用拉格朗日中值定理证明的不等式，一定能用柯西中值定理证明；而例6不等式能用柯西中值定理来证明，但不能用拉格朗日中值定理证明，所以分清拉格朗日中值定理和柯西中值定理，对我们在证明不等式时具有很重要的作用.

通过对本文的研究，可以知道有些不等式的证明对我们来说很难，主要是在证明的思路或者在函数的构造上有难度.而对于不同的不等式证明需要灵活地运用不同的微分中值定理来证明.因此，我们一定要熟练掌握微分中值定理这部分内容，以便能在证明不等式时更快地构造出合适的函数，实现我们的证明目的.

另外，通过讨论利用部分微分中值定理证明不等式的过程，既发展了学者的思维能力，又进一步揭示了微分中值定理是一种实用性很强的数学方法和工具，它在证明不等式中得到了很好的应用.

［1］侯风波.高等数学［M］.北京：高等教育出版社，2000：78-95.

［2］欧阳光中，姚允龙.数学分析［M］.上海：复旦大学出版社，1998：108-113.

［3］D.S.密斯特利诺维奇.解析不等式［M］.北京:科学出版社，1987.

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［5］孙学敏.微分中值定理的应用［J］.数学教学研究，2009（10）.

·编辑 薛直艳