一类改进Boussinesq方程的Lie对称群及群不变解

张 锦,王乡月

(吉林大学 数学学院,长春 130012)



一类改进Boussinesq方程的Lie对称群及群不变解

张 锦,王乡月

(吉林大学 数学学院,长春 130012)

利用经典Lie群方法研究一类改进Boussinesq方程的Lie对称群的存在性及相应的群不变解,证明了改进Boussinesq方程存在3-参数的Lie对称群,并得到了该方程的一些行波解和非行波解.

Lie群;Lie对称;Boussinesq方程;群不变解

Boussinesq方程[1]的一般形式为

utt=uxx+quxxxx+(u2)xx,q=±1,

它不仅与水波传播密切相关,而且还可用于模拟其他波动现象,如物理学中的声波、离子波及医学中血管内的孤波等.但Boussinesq方程用于描述短波的传播时具有不稳定性,因此Bogolubsky[2]又提出了如下改进Boussinesq方程:

utt=uxx+quttxx+(u2)xx,q=±1.

改进Boussinesq方程可以很好地模拟圆截面弹性杆中声波的横向运动和非线性运动.

目前,对于非线性微分方程的求解有很多可行方法,Lie群方法[3]是其中之一.利用Lie群方法对Boussinesq方程进行研究已取得丰富的结果[4-11].本文通过对改进Boussinesq方程进行Lie对称分析,得到了该方程的Lie对称群以及相应的群不变解.

考虑如下改进Boussinesq方程:

(1)

其中q是任意常数.利用经典的Lie群方法可以得到如下结果.

定理1改进Boussinesq方程(1)存在3-参数的Lie对称群.

证明:考虑如下单参数Lie变换群:

(2)

其中:ε≪1是小参数;τ(t,x,u),ξ(t,x,u),φ(t,x,u)是关于t,x,u的光滑函数.Lie变换群(2)的无穷小生成元为

V=τ(t,x,u)∂t+ξ(t,x,u)∂x+φ(t,x,u)∂u,

对方程(1)的所有解都成立.等价于求解方程

(3)

其中Q=Q(t,x,u(4))是依赖于t,x,u及u关于t,x的直到4阶导数的光滑函数,并且

将各φJ的表达式代入方程(3),并比较u的各阶导数系数,可得如下确定性方程组:

τx=0,τu=0,τtt=0,ξt=0,ξx=0,ξu=0,φx=0,φtt=0,φuu=0,φ=-(1+2u)τt.

求解该方程组得

τ=a+ct,ξ=b,φ=-c-2cu,

其中a,b,c是任意常数.表明方程(1)的Lie对称群的生成元构成一个三维的Lie对称代数,并有如下一组基:

V1=∂t,V2=∂x,V3=t∂t-(1+2u)∂u.

证毕.

利用定理1,可得如下关于改进Boussinesq方程的单参数群不变解的结果.

2)对应于Lie对称V2的群不变解为u=c1t+c2;

式中c1和c2都是任意常数.

(4)

这里 ′=d/dx.在方程(4)两端同时乘以2(6q+f)f′并积分可得

(6q+f)2f′2=36qf2+4f3+c1,

其中c1是任意常数.进一步求解该方程可知结论成立.

实际上,通过考虑Lie对称代数的线性组合,可以得到更一般的关于群不变解存在性的结果.

定理31)对应于向量场aV1+bV2(a,b≠0)的群不变解为u=f(ax-bt),这里f(y)满足

3)对应于向量场aV1+bV2+cV3(b,c≠0)的群不变解为

式中c0,c1,c2和c3都是任意常数.

证明:Boussinesq方程(1)的3-参数Lie对称群为

若u=f(t,x)是方程(1)的解,则

是可由群不变性得到的方程(1)的最一般解.

1)利用aV1+bV2的不变量ζ1=ax-bt和ζ2=u可知相应的群不变解为u=f(ax-bt).将其代入方程(1),可得f(y)满足的方程为

(5)

这里 ′=d/dy.方程(5)等价于下述二阶方程:

(6)

其中c0和c1是任意常数.特别地,令c0=0,并在方程(6)两端同时乘以6f′再积分可知

(7)

其中c2是任意常数.进一步求解方程(7)可知结论成立.

(8)

这里 ′=d/dx.在方程(8)两端同时乘以2(6qc2+f)f′并积分可得

(9)

其中c1是任意常数.进一步求解方程(9)可知结论成立.

将其代入方程(1),可得f(z)满足的方程为

(10)

比较z的同次幂项系数即知结论成立.

综上,本文利用Lie对称方法求出了一类改进Boussinesq方程的Lie对称群,并得到了该方程的一些行波解、非行波解及最一般群不变解所满足的方程和相应的幂级数解.

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(责任编辑：赵立芹)

LieSymmetryAnalysisandGroup-InvariantSolutionsforanImprovedBoussinesqEquation

ZHANG Jin,WANG Xiangyue

(CollegeofMathematics,JilinUniversity,Changchun130012,China)

Applying the classical Lie symmetry method,we investigated the problem of determining the largest possible set of Lie point symmetries for an improved Boussinesq equation.The most general Lie point symmetry group of the improved Boussinesq equation was determined and the corresponding group-invariant solutions,such as travelling wave solutions were obtained.

Lie group;Lie symmetry;Boussinesq equation;group-invariant solution

10.13413/j.cnki.jdxblxb.2015.03.02

2014-10-21.

张 锦(1982—),女,汉族,博士,讲师,从事Lie群在微分方程中应用的研究,E-mail:jinzhang@jlu.edu.cn.

国家自然科学基金(批准号:J1310022;11001102).

O175.2

：A

：1671-5489(2015)03-0359-04