导数学习误区分析

宋勇

判断函数单调性时易忽视的一种特殊情况

例1 已知函数[fx=-13x3+ax2-x-1]在[R]上是减函数，求实数[a]的取值范围.

错解 [fx=-x2+2ax-1]，因为[fx]在[R]上是减函数，所以[fx<0]在[R]上恒成立，即[Δ=4a2-4<0]，解得[-1

正解 [fx<0]恒成立的充要条件并不是[fx]在[R]上是减函数.

事实上， 当[a=1]时，[fx=-x-12].

则当[x∈-∞，1]时，[fx<0].

当[x∈1，+∞]时，[fx<0].

当[x=1时，fx=0]，而函数[fx]在[x=1]处连续.

因此[fx]在[R]上是减函数.

同理可知当[a=-1]时，[fx]在[R]上是减函数.

所以[a]的取值范围为[-1≤a≤1].（有条件的同学可用几何画板作出[a=±1]时的函数图象.）

点拨 错误的根源是将函数单调性的充分条件误认为是充要条件，在根据函数的单调性求解参数问题时最容易犯这种错误. 解决这类问题时既要注意其充分性，又要注意其必要性.已知函数单调性求参数的取值范围，可转化为不等式恒成立问题.一般地，函数[f（x）]在区间[I]上单调递增（递减）等价于不等式[fx≥0（fx≤0）]在区间[I]上恒成立，然后可借助分离参数等方法求出参数的取值范围，并验证[fx=0]是否有有限个解.

求函数的极值点二种易混淆的情形

1. 误认为导数为零的点一定是极值点

例2 函数[fx=x3-ax2-bx+a2]在[x=1]处有极值[10]，求[a]，[b]的值.

错解 [fx=3x2-2ax-b]，由题意得，[f1=0]，且[f1=10]，

即[3-2a-b=0，1-a-b+a2=10，]解得[a=3，b=-3，]或[a=-4，b=11.]

正解 [fx0=0]是可导函数[y=fx]在[x=x0]处有极值的必要条件而非充分条件.只有同时满足在[x0]附近导数的符号相反，才能判定在[x=x0]处取得极值，因此上述解法在解出[a]，[b]的值后，还应检验[fx=3x2-2ax-b]在[x=1]附近导数符号的变化情况.经检验发现只有[a=-4]，[b=11]符合条件.

2. 误认为极值只能在导数为零的点处取得

例3 求函数[fx=x2-x-6]的极值.

错解 由于[fx=x2-x-6 ， x≤-2或x≥3，-x2+x+6， -2

于是[fx=2x-1 ， x<-2或x>3，-2x+1 ，-2

令[fx=0]得，[x=12.]

当[-20].

当[12

所以当[x=12]时，函数有极大值[254].

正解 [fx0=0]是可导函数[y=fx]在[x=x0]处有极值的必要条件……