POCKn的一类正则子半群的秩

张熹成，高荣海，b

（贵州师范大学 a.数学与计算机科学学院；b.学报编辑部，贵州 贵阳 550001）

POCKn的一类正则子半群的秩

张熹成a，高荣海a，b

（贵州师范大学 a.数学与计算机科学学院；b.学报编辑部，贵州 贵阳 550001）

设自然数n≥5,Xn=｛1,2,…,n｝,POn是Xn上的保序部分变换半群，POCKn是POn中核具有连续横截面的元素所构成的子半群，我们得到POCKn的正则元构成的子半群秩为2n-1.

保序；连续横截面；正则；秩

设自然数n≥5,Xn=｛1,2,…,n｝,若Xn上的一个全变换α满足：对任意x,y∈Xn,x≤y⇒xα≤yα，则称α是保序的，Xn上保序全变换（不含Xn上恒等变换）的集合记作On.设POn=On⋃｛｝

进而本文将考虑在POn上核具有连续横截面的保序部分变换半群 POCKn的正则元构成子半群Reg（POCKn）的秩.

本文证明了如下主要结果：

定理设自然数n≥5，则rank（Reg（POCKn）=2n-1.

1　准备

设S是一个半群，ε∈S,若ε2=ε,则称ε是S的一个幂等元；对于α∈S,若存在 β∈S,使得αβα=α,则称α是S的一个正则元，S的正则元构成的集合记作Reg（S）.对于半群S,如果满足条件：Reg（S）=S.那么称S是正则半群.

设α∈POCKn,用im（α）表示α的象集，Ker（α）表示Xn上的一个等价关系α-1∘α=｛（x,y）∈Xn×Xn:xα=yα｝,若|im（α）|=r（1≤r≤n-1），POCKn的元素有如下标准表示：其中maxA1=i,minA2=i+r-1,A1,A2⊆Xn，以及ai∈Xn,a1＜a2＜,...,＜ar,i=1,2,...,r.

定义1［5］称非空子链A⊆Xn是Xn的连续子链，若对任意k∈Xn，只要minA≤k≤maxA，则k∈A.

下面对POCKn中正则元特性进行刻划.

命题1设α∈POCKn,||im（α）=r,4≤r≤n-1.并且有上述标准表示，则α是正则元的充要条件是：标准表示（1）中，a2＜,...,＜ar-1恰好是Xn的一个连续子链.

证明必要性：

α的象集是 β的核的部分连续横截面，而 β的象集又是α的核的部分连续横截面；若a2,...,ar-1不连续，不失一般性，不妨设a2,a3不连续，则a3=a2+x,（x≥2）,此时a2,a3一定属于 β的两个不相邻单点核类，因此有a3β＞a2β+1，但由 αβα=α知，必有 a3β=i+2,a2β=i+1，即有 a3β=a2β+1，这与 a3β＞a2β+1矛盾，故a2,...,ar-1必为连续子链.

充分性：因为a2＜,...,＜ar-1恰好是Xn的一个连续子链.

POCKn中……