高中数学中含参问题的解题初探

喻金武

(福建省莆田华侨中学)

含参问题一般是把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合在一起，综合性强、解法灵活等特点成为近几年高考及高中数学联赛的热点之一.含参问题的解题方法是多样的，涉及各种数学思想和方法，下面通过例子来展示各种解题方法.

一、变量易位

变量易位是含参问题的一种重要解题策略.含参问题，一般含有两个或多个变元，我们在解题过程中可视其中一个为主元，其余都看作参数，可将多元问题化为一元问题，常常可以降低思维难度.变量易位可分为两种：

1.主次元互换

一般的，把已知范围的变量看作自变量，另一个看作常量.

例1.对于0≤p≤4的一切实数，不等式x2+px>4x+p-3恒成立，求x的取值范围.

分析：解决这个问题需要应用二次函数以及二次方程实数根分布原理，这是比较复杂的.若把x与p互换一下角色，即将p视为变量，x为常量，则上述问题可转化为关于p的一次函数在［0，4］内大于0恒成立的问题.

解：设f(p)=(x-1)p+x2-4x+3

当x=1时，不满足题意，

当0≤p≤4时，f(p)>0恒成立，只要f(0)>0且f(4)>0

即x2-4x+3>0且x2-1>0解得x>3或x<-1.

2.多元问题确定主元

例2.对任意a∈［-1，1］，函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值总大于0，求x的取值范围.

解析：f(x)的表达式是以x为主元的，若按此思路做下去，就会被骗了，若以a为主元，则发现g(a)=f(x)=(x-2)a+x2-4x+4是以a为自变量的一次函数.只要同时满足 g(1)>0 及 g(-1)>0 即可，而g(1)=(x-2)+x2-4x+4=x2-3x+2>0，g(-1)=(x-2)(-1)+x2-4x+4=x2-5x+6>0即x>3或 x<1.

二、分段讨论

合理分段讨论是处理含参问题的基本思路，含参问题的字母取值范围的求法通常需要用分段讨论的方法来解决.

1.异元分类

解：令log3x=t，则原方程可化为

故原不等式的解集为：当 k∈(-1，0)∪(1，+∝)时3k)，当 k∈(-1，1)时，x∈覫

2.同元分类

例4.设log(x2x+1)

解：根据对数函数的单调性对x进行分类：

当03x>1解得当x>1时，可得x>1且2x2+1<3x<1，解得x∈覫，

3.转变视角

利用等价变形、函数奇偶性及公式的合理选用，变换视角去解题.

例5.设(fx)是偶函数，x∈［-2，2］，且x∈［0，2］时，(fx)为减函数，解不等式 (f1-a)<(fa).

4.数形结合

有些问题，仅限于数方面的考虑，在解决问题时，过程较为繁琐，若既能分析数式特征，又能揭示几何意义，巧妙结合，则更有利于问题的解决.

例 6.设关于 x的方程 lg(ax-1)-lg(x-3)=1 有解，求实数 a 的取值范围.

解：原方程可化为：lg(ax-1)=lg10(x-3)从而 ax-1=10(x-3)(x>3)

设 y1=ax-1，y2=10(x-3)(x>3)，其图象分别为 l1，l2，

总之，对于含参问题，因其覆盖的知识点多，方法多，应充分运用到各种思维策略和方法.

［1］苏龙.谈主元思想对参数问题的解题帮助［J］.福建中学数学，2008(11)：35-37.

［2］曾安雄.避免分类讨论简化含参问题［J］.解题技法，2006(3)：24-27.