“函数的微分”教改设计

董艳

摘 要： 微分是学生以前从未接触过的概念，比较抽象，特别是课本上的引例，经过多次讲解，发现通过此引例引入，学生不易理解，因此如何引入微分的概念是上好本节课的重点也是难点.本文主要是针对此特别设计的.以问题驱动引入本节，让学生通过做题体会其中遇到的困难，进而分析问题，解决问题，带着问题引入微分的概念，其中主要利用数形结合的方法讲解概念，过渡自然，最终得出求微分就是求导数的.

关键词： 微分 概念 导数 问题驱动 数形结合

一、课前准备

1.复习引入

设计目的：求微分就是求导数，因此新课前首先对导数的概念进行复习；微分是为了解决函数值的增量而引入的，因而复习的第二个知识点就是增量的概念.

2.课堂任务

设计思想：让学生通过做一道有关增量的题目（见下表），使学生体会到计算中的困难，并通过数形结合法分析所遇到的问题从而引入微分概念.

课堂任务：按要求完成下列表格：

表1 函数y=x■-x在点2处当取不同自变量增量时函数值增量的计算

3.问题提出

在上面任务完成的过程中，遇到的问题是：函数y=x■-x在点2附近处的函数值不容易计算，导致在这点附近函数值的增量也不容易计算.

4.分析问题

作出y=x■-x的图像，为了求出函数在点2附近处的函数值，我们过这点作曲线的切线，会发现什么呢？

图1 函数的图像及其在点2处的切线

由图可知在点2附近，曲线和切线十分接近，我们可以用切线上的函数值近似地代替曲线上的函数值，写出切线的方程为：f（x）-6=11（x-2），观察这个等式的左右两边可以进一步写成：Δy=11Δx，那么就用此式计算下刚才的那个问题，可得下表：

表2 切线上的函数值增量与曲线上函数值增量作比较

5.得出结论

当Δx→0时，Δy≈dy，今天我们讲的函数的微分其实就是切线上的函数值的增量，它是用来近似代替曲线上的函数值的增量的，可是再怎么近似，也会有误差，误差有多大呢，微分的概念就可以解决这个问题.

二、新课讲解

1.先请学生用心看一遍定义

2.通过图形解释定义

图2 函数的微分概念的图形解释

3.解决引入中的问题

从图3中很容易得出：Δy-dy=0（Δx），0（Δx）是什么意思呢？

4.对0（Δx）的解释

5.公式中“A”的推导[1]

6.导数和微分的关系（可微的条件）

三、课堂小结

本节课我们主要学习了函数的微分概念，微分其实就是曲线函数在一点处，当自变量变化很小时，相应的切线上函数值的改变量，它是用来近似代替曲线上的函数值的改变量的，从而体现了以直代曲的思想.

参考文献：

[1]岳忠玉.高等数学[M].第一版，西北大学出版社，2012.

[2]云连英.微积分应用基础[M].第三版，高等教育出版社，2014.

[3]王福楹，等.高等数学[M].第三版，高等教育出版社，2006.

[4]崔信.高等数学[M].第一版，北京出版社，2014.

基金项目：陕西省职业技术教育学会2015年度教育科研规划立项课题No.SZJYB2015040）