感悟动态的数学美

王晓萍

摘 要： 数学中有诸多美学因素：对称美、简单美、奇异美、和谐美、力量美等，只有在动态的过程中，这些美才能被展示到极致.

关键词： 对称美 简单美 奇异美 和谐美 力量美

数学中诸多的美学因素早已为大家所熟知，比如对称美、简单美、和谐美、奇异美等.静态地看，它们足可赏心悦目、陶情冶趣，而在动态的过程中观之，则更能看出它的流畅美和力量美.事实上只有在动态的过程中，这些美才能在形式上和内涵上都被展示到极致，才能让人在体会美的同时感受到一种生命力：这是一种超越欣赏（可以实用）、甚至也超越功利（不但实用）生动的美.

一、对称美：运动带来新观念

说起对称美，我们不妨举最简单的对称图形，即等腰三角形.

初中《几何》第二册上有这样一条定理：

图1

例1：等腰三角形的两个底角相等.

课本上的证明是：作角A的平分线交BC于D点（图1），然后证明△ABD≌△ACD（SAS），从而∠B=∠C.

图2

在今天看来，这是个初中生也能理解的题目.但是数学文化史专家克莱因（代表作是《古今数学思想》）认为它“特别有趣”，一是因为欧几里得在他的体系里比较早地给出了这个结果；二是一直到文艺复兴之前的1000多年时间里，它代表了大学中几何学习的水平.在欧洲中世纪的大学里，这个定理被称为“笨蛋的难关”，也叫“驴桥”，因为笨蛋证明不了这个问题，就再也无法前进了.欧几里得选择角A的平分线AD为辅助线，是充分考虑到了图形的对称性的自然结果（后来我们知道AD也是BC边上的高，因而是对称轴）.恰恰是“辅助线”这种无中生有的东西成了很多人难以逾越的障碍.如果我们换个角度，让图形动起来，将△ABD绕AD旋转（图2），则它可与△ACD重合.一种奇异的景象展现在我们面前：△ABC与△ACB重合.于是一种新的巧妙证法翩然而至，而它只依靠这个三角形本身，不需要辅助线.

另证：在△ABC与△ACB中（如图2中的（1）和（3）），

AB=AC（已知）

AC=AB（等式性质）

又∠A=∠A（同角）

故△ABC≌△ACB（SAS）

从而∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）.

静态的对称具有形象美，动态的对称则有韵律美，前者在心理上产生吸引力，后者则可能产生震撼力.本题的两种思维结果（证明过程），其实代表着不同水平的心智活动.

二、简单美：前后联系辩证看

一般地讲，繁与难会造成一种心理上的恐慌，简洁则能给人以安全感和舒畅感，这就是简单美的心理基础.数学上对简单规律的追求，以及对难题的简洁解法的追求始终是一种不可遏制的趋势.爱因斯坦说：“如果两种理论都能解释同一个现象，则简单的那个就是好的.”

三、奇异美：变化带来新奇观

一个奇妙的想法、一个优美的结果本身就够令人神往的了，如果这种奇异性不是在于一处两处，而是一个过程中，时时处处奇招迭出、妙景频现，那解题者会有什么样的情感体验呢？

椭圆的形象对称优美，上述的等式也具有对称性，而且非常简洁，按理说这已达到了数与形的和谐，似乎可以满足.但上述的和谐只是静态的，真正用①式解题时，常有不方便之处.而且①式没有实现椭圆与坐标及方程之间的高度完美的这就是椭圆的标准方程，b也又确实具有确定的几何意义（半短轴的长）.不仅本身和谐简洁，而且与解析几何的整个知识体系和方法体系相适应，达到了更高层次的和谐.

五、力量美：只有在活动中才能得到体现

从古至今，数学一直在生产和生活中发挥着巨大作用.特别是现在，数字化技术日新月异地发展，使得数学直接在人类实践的各个方面发挥着它独有的效力，给我们以技术上的支持和心理上的保障，自然也就在我们心头产生了新的美感——力量美.当然，这种美在静态下是无以领会的，只有在使用它进行创造性工作的过程中才能认识到它那无坚不摧的力量.

例5：靠什么发现了“笔尖上发现的行星”？

多数天文学家认为可能在天王星之外还有一颗未知行星，人们发现对太阳系其他行星都适用的开普勒定律和牛顿引力理论对天王星总有不大的一点偏差，观测与预报的位置总有偏离.正是它对天王星的摄动力才造成天王星运动的反常.人们毫不怀疑数据，同时也坚信开普勒和牛顿理论的正确性.有人建议，可以从这种偏差去估计摄动的大小，从而推算出未知行星的位置.然而这种工作在数学上有着巨大的困难，令人望而却步.

当时有两个青年——英国的亚当斯（Adams）和法国的勒威耶（LeVerrier）在互不知晓的情况下分别进行了整整两年的工作.1845年亚当斯先算出结果，并把计算结果报告给格林尼治天文台，希望他们在指定的位置进行观察.但格林尼治天文台却把他的论文束之高阁.1846年9月18日，勒威耶把结果寄到了柏林，受到了重视.柏林天文台的伽勒（J.G.Galle）于第二晚就进行了搜索，并且在离勒威耶预报位置不远的地方发现了这颗新行星.虽然是伽勒第一个“看见”海王星，但是人们（包括伽勒本人）仍然公认海王星是由勒威耶发现的，也可以加上亚当斯.并从此称海王星是“笔尖上发现的行星”.

时至今日，借助于数学而实现的类似发现已成常态，那种靠偶然“撞见”而实现的发现，虽然也可能有价值，但是已很难被冠以“重大”两个字了.

数学中，美的素材是无穷无尽的，美的形式是多姿多彩的，而动态的美尤其具有独特的神韵与活力.那是流淌着的诗意、那是萦绕着的乐曲、那是喷发着的激情、那是轰鸣着的步履.在动态的过程中，我们更能产生美的体验、激起美的情感、挖掘美的内涵、创造美的结果、陶冶美的情操.斯图利亚尔说“数学教学其实是数学活动的教学”，就让我们在这一活动中尽情领略美的风致，感悟美的真谛.

参考文献：

[1]罗增儒.解题分析——引爆灵感的一根撞针[J].中学数学教学参考，1998.10.

[2]田星，刘云章.数学美的哲学思考[J].中学数学教学参考，1999.8.

[3][美]M.克莱因著.张组贵译.西方文化中的数学[M].北京：商务印书馆，2013.6.