关于《应用随机过程》教学的探讨

程慧慧

摘 要： 随机过程是概率论的延伸，研究不确定现象的动态变化规律。针对其抽象性强，与实际联系比较紧密，学习难度大等特点，通过以下教学思想与教学方法探讨如何讲授好应用随机过程课程：将概率意义与直观背景相结合，理解各种随机过程；建立不同过程之间的对比关系，指明它们的本质区别和联系，使学生能够融会贯通，加深记忆；加强随机过程的应用举例，提高学生的兴趣和解决实际问题的能力。

关键词： 随机过程 直观背景 类比教学 应用举例

应用随机过程是高等院校理工科高年级学生和研究生的专业基础课。作为概率论的延伸，随机过程不仅是数学、概率统计专业所必需的，而且是物理及工程技术领域的重要应用工具，其在通信、生物、社会管理、经济领域等方面都有广泛应用。作为随机数学的一个重要基础课程，随机过程已经是现代科技工作者必须掌握的一个工具。随机过程是研究随机现象变化过程的学科，有重要的理论价值和实际应用背景。但由于随机过程偏向于概率等随机数学的特征，理论知识相对抽象复杂，学生由于适应了确定性现象的思维习惯，对概率论这一类研究不确定现象的理论体系会显得难以接受，对作为概率论拓展的随机过程理论就更不容易掌握。这对学生的学习和老师的教学方法提出了一定挑战。因此，在随机过程教学中，首先，注重将概率原理与直观背景相结合，理解各种随机过程，使授课内容通俗易懂，容易接受。其次，将各个教学知识点有机联系起来，通过类比的方法，了解它们之间的本质区别和联系，这样可以指导学生在学习不同过程的性质时，体会它们的相同点和不同点，加深对知识点的记忆。另外，要加强对随机过程应用性的介绍，结合学生的专业特点，可以让学生利用随机过程的知识进行数学建模，解决实际问题，提高学生的学习兴趣和应用能力。

一、概率原理与直观背景相结合，理解各种随机过程，使授课内容通俗易懂，容易接受。

随机过程与现实生活联系非常密切，许多知识都有实际背景，因此在讲解一个知识时通常可以将其与具体的例子结合起来，使学生更容易接受。例如对Poisson过程，事实上，现实世界的许多偶然现象可用泊松分布描述，泊松过程是随机建模的重要基石，也是学习随机过程理论的重要直观背景。在讲授时，我们先列举一些著名的例子，比如：电话总机所接到的呼唤次数，交通流中的事故数，某地区地震发生的次数，细胞中染色体的交换，计数器上的粒子流，炮弹的弹着点，等等。

紧接着，提出问题：为什么实际中有这么多的现象可以用泊松过程反映呢？让学生带着问题听课，增强教学吸引力。然后讲解其概率原理：其根据是稀有事件原理。我们在概率论的学习中已经知道，贝努里试验中，每次试验成功的概率很小而试验的次数很多时，二项分布会逼近泊松分布。这一想法很自然地推广到随机过程，比如上面提到的事故发生的例子，在很短的时间内发生事故的概率是很小的，但假如考虑很多个这样很短的时间的连接，事故的发生将会有一个大致稳定的速率，这类似于贝努里试验和二项分布逼近泊松分布时的假定，这就是泊松过程定义所描述的直观意义。再比如讲授维纳过程时，可以先介绍维纳过程的数学模型布朗运动，英国植物学家布朗在显微镜下，观察漂浮在平静的液面上的微小粒子，发现它们不断地进行着杂乱无章的运动，这种现象后来称为布朗运动，以W（t）表示运动中一微粒从时刻t=0到时刻t>0的位移的横坐标（同样也可以讨论纵坐标）且设W（0）=0，根据爱因斯坦1905年提出的理论，微粒的这种运动是由于受到大量随机的，相互独立的分子碰撞的结果，于是，粒子在时段（s，t]（与相继两次碰撞的时间间隔相比是很大的量）上的位移可看做是许多微小位移的代数和。显然，依中心极限定理，假定位移W（t）-W（s）为正态分布是合理的。其次，由于粒子的运动完全是由液体分子的碰撞而引起的。这样，在不相互重叠的时间间隔内，碰撞的次数，大小和方向可假定是相互独立的，这就是说位移W（t）具有独立的增量。另外，液面处于平衡状态，这时粒子在一时段上位移的概率分布可以认为只依赖于这时段的长度，而与观察的起始时刻无关，即W（t）具有平稳增量，这就是维纳过程的直观意义。

二、通过类比的方法，建立不同过程之间的联系，使学生融会贯通，加深记忆。

随机过程中，不同过程之间有很多相似点和不同点，在讲解的时候，可以进行类比，加深学生的记忆。以泊松过程和维纳过程为例，通过比较这两种过程定义中的条件理解其各自具有的性质。

泊松过程：计数过程{N（t），t≥0}称为强度为λ的泊松过程，如果满足条件：

（1）在不相重叠的区间上的增量具有独立性；

（2）N（0）=0；

（3）对每个t，N（t）服从Poisson分布P（λt）。

维纳过程：称随机过程{W（t），t≥0}为维纳过程，如果满足条件：

（1）在不相重叠的区间上的增量具有独立性；

（2）W（0）=0；

（3）对每个t，W（t）服从正态分布N（0，σ2t）。

通过比较可以看出，这两种过程的相同之处在于都是平稳的独立增量过程，且都要求零初值；不同的是维纳过程要求增量服从正态分布，而泊松过程要求增量泊松分布。依据泊松分布和正态分布的性质特征，可以知道泊松过程的轨道是阶梯函数而维纳过程的轨道应该是连续的，另外前者的均值为λ，而后者的均值为0，讲授式可以绘制出二者的一条轨道图像，分析以上特征。使授课内容更直观，容易被学生接受，加深记忆。由于泊松过程较为简单直观，通常被放在课程的开始阶段进行教学，而维纳过程则通常在课程后期才进行讲授。这样，学生在学习时常常不能体会到这两类过程之间的联系。我们通过以上类比，将这两类随机过程及其相应的教学重点紧密联系，一方面给学生揭示了这些随机过程的本质和相互关系，另一方面为学生加深对这些教学内容和知识点的理解，融会贯通所学知识，提高随机课程这门应用数学的实践能力提供了新的着力点。

三、增加对几类过程在实际中的应用举例，体现所学知识的应用价值，提高学生的学习兴趣。

随机过程有很强的应用背景，其中泊松过程的一个典型应用就是在排队论中的应用。举例：设某银行从早上8：00开始有无穷多的人排队等候服务，设只有一名服务员，且每人接受服务的时间是独立的并服从均值为20分钟的指数分布，则到中午12：00为止平均有多少人接受完服务已经离开？恰有9人离开的概率是多少？

解：由所设条件可知，到t时刻为止，离去的人数N（t）是强度λ=3的泊松过程（这里以小时为单位）。设8：00为零时刻，则其均值为3即到12：00为止，离去的人平均是12名。恰有9人离开的概率为P{N（t）=9}，由泊松过程定义第三条计算即可。

事实上随机过程在很多领域都有应用，如天气预报、统计物理、放射性问题、原子反应、天体物理、化学反应、生物中的群体生长、遗传、传染病问题、排队论、信息论、安全科学、人口理论、可靠性、经济数学及自动控制、无线电技术、计算机科学等很多领域都要以随机过程为基础来构建数学模型。因而，在讲解时，应充分体现随机过程的实践性和应用性，结合本学科的前沿技术与发展动向，拓宽学生视野，给学生布置一些小论文，让学生利用随机过程的知识建立数学模型，解决实际问题，提高学生的学习兴趣。

参考文献：

[1]吕方，王振辉.关于《应用随机过程》教学的思考[J].中国科教创新导刊，2009（30）：50-52.

[2]状态变化时间间隔在随机过程教学中的意义[J].中国科技信息，2011（18）：141-142.

[3]张波，商豪.应用随机过程[M].中国人民大学出版社.