高等数学课堂要注意培养学生的数学能力

王玉辉

摘 要： 作者结合在高职院校中《高等数学》课程的教学实践，探讨如何通过微积分三大概念——极限、导数、积分的引进和建立，揭示高等数学思想方法——局部“以直代曲”，整体“近似代替精确”等，培养学生分析和解决问题的能力。

关键词： 数学能力 以直代曲 近似代替精确

数学能力是一种特殊的能力，它包括运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析、解决实际问题的能力，分析和解决问题的能力是指运用数学知识分析和解决实际问题的能力，它是以前三者为其结构成分的综合能力。

下面结合笔者在高职院校中《高等数学》课程的教学实践谈谈如何通过微积分三大概念——极限、导数、积分的引进和建立过程揭示以直代曲、由常量到变量、有限到无限、具体到抽象、局部到整体的辩证的思维过程与思想方法，进而培养学生分析问题和解决问题的能力。

1.极限思想

极限概念是微积分中最基本的概念，微积分中几乎所有的概念，如导数、积分都是用极限概念表达的，是特定过程、特定形式的极限，极限方法贯穿于微积分的始终。

我国魏晋时杰出数学家刘徽的“割圆术”就含有朴素的极限思想，是极限思想的具体体现，所以在极限概念教学时，我引导学生采用“割圆术”求圆面积渗透极限思想，具体做法如下。

（1）解释刘徽的“割圆术”。

（2）作圆内接正多边形，教师指出由直线围成的正多边形面积，它不能代替曲线（圆）围成的面积，怎样解决这一问题呢？

（3）学生经过思考会总结出：如果正多边形边数n无限增大就会发生质的飞跃，正多边形变成圆，正多边形面积变成了圆面积。

采取以上讲解过程，会很好地帮助学生理解数列极限定义，体会到极限定义中蕴含着的量变向质变转化的辩证思想，初步认识“以直代曲”，“从有限到无限”，“由近似求精确”这种有别于初等数学的全新的数学方法和思想。而这种极限的思想对今后微积分其他概念的建立，对提高学生逻辑思维能力，进而提高分析和解决问题的能力有非常大的帮助。

2.微分思想

微分学是从数量关系上描述物质运动的数学工具，基本概念是导数与微分。

在导数概念教学中，我设计了几个问题引导学生运用极限概念中体现的辩证思维形式研究讨论，解决引出导数概念的例题：求变速直线运动的瞬时速度。

（1）怎样把非匀速直线运动转化为匀速直线运动研究？即“以匀代不匀”，“以常量代变量”。

学生通过探索，发现直接“以匀代不匀”，用平均速度代瞬时速度，误差会很大，联想到求圆面积的思想方法和研究极限概念的思路，考虑到若把时间段分割成若干个小区间，在每个小区间上“以匀代不匀”，用平均速度代瞬时速度误差较小。

（2）怎样把小区间内的平均速度转化为某一时刻的瞬时速度呢？

学生探索的结果是缩小区间，但每一次缩小后仍然是平均速度，要把平均速度转化为某一时刻的瞬时速度，必须令△t→0，即必须使用极限的手段才能有质的飞跃。当△t→0时，→定值，从而得到非匀速直线运动某一时刻的瞬时速度。

（3）师生共同讨论小结，得出解决这类问题的思路：研究变量在某一点的变化率问题要使用分割的方法，在小区间内用常量代替变量；再施以极限的手段，使小区间无限变小得到新的常量，最后得到变量在某一点的定量描述。在几何意义上，这个过程是直与曲的转化，在数量关系上，就是近似与精确的转化。

3.积分思想

用与微分同样的思路建立定积分概念时，学生已能够熟练地把曲边梯形“化整为零”，然后再“积零为整”。通过求一个新型的极限，即求和式当n→∞时的极限来定义定积分了。主要引导学生按以下步骤求由闭区间[a，b]上的连续曲线y=f（x）≥0，直线x=a，x=b与x轴能围成的曲边梯形面积。

（1）分割（化整为零）；（2）近似代替；（3）求和（积零为整）；（4）极限求精。

以上教学，不仅使学生初步理解掌握了极限、导数、定积分的定义，更重要的是在整个教学过程中揭示了高等数学的思想方法，培养了学生的逻辑思维能力，分析、解决问题的能力，以及受益终身的数学能力。