例谈解题后的反思

王丽霞

一、背景

在高三数学一轮复习中，很多同学做题成百上千，学习态度也比较端正，但究其效果，往往不是很理想，成绩也没因此提高多少.究其原因，主要因为他们都采用题海战术，一味地做题目，只重视最后算出的结果，而不去总结和探究解题规律，忽视了解题后的第二次思考，没有使自己辛辛苦苦所获得的思维成果得到巩固、升华和提高.

二、具体过程

笔者认为解题之后对其进行反思既对学生的解题能力提高有所帮助，又让学生节约了大量做同一种类型题目的时间.

（一）对解题过程反思，总结解题规律

题目求解正确，有些同学便认为解题结束，其实不然，数学问题解决的主要目的在于：通过解题更全面、深入地理解数学概念、定理及性质，归纳总结出分析数学问题的思维方法.因此，在解题正确之后，同学们应该思考下面一系列问题：①解题过程是否错误；②解题过程有无条理；③解题过程能否进一步完善.

通过反思解题过程，我们可以总结出解决一类问题的解题方法，从而由点到面，大大提高解题速度和对题目的迁移能力.

例1：已知二次函数f（x）=ax+（2a-1）x+1在区间[-，2]上的最大值为3，求a的值.

解：（1）当a>0时，由于二次函数图像开口向上，则最大值只能在端点处取得.

①若f（-）=3，则得a=-，与a>0矛盾，舍去；

②若f（2）=3，则得a=，再检验此时的对称轴发现刚好在这个区间内，符合题意.

（2）当a<0时，-=-1+<-1<2，再分两小类.

①若-<-即-1

②若-≤-≤2即a≤-1，则f（x）=f（-）=3，解得a=-与a≤-1矛盾，舍去.

综上所述，a=或a=-.

通过反思上述解题过程，我们可以看到如下求二次函数在一定区间上求最值（值域）的解题方法：

（1）决定二次函数在某区间上的最值问题的主要条件是二次函数图像的开口方向、对称轴及所指定的区间；

（2）其中二次函数图像的开口方向由二次函数二次项系数的符号确定；

（3）所给定区间与对称轴的相对位置关系的讨论是解决这类问题的关键.

先在数轴上画出指定区间，整个数轴被这个区间分成了几部分，那么对称轴就有几个可能.

（二）对解题结果反思，对题目追本溯源

数学的题目无数，但数学题目的类型却是有限的，如果对题目追本溯源，对解题结果进行反思，找出题目所对应的知识点，把错误归结到知识点，就能够对这种类型的题目真正掌握.

例2：（1）必修一P55第十一题

对于任意的x，x∈R，若函数f（x）=2，试比较[f（x）+f（x）]/2与f（）的大小关系.

（2）必修一P71第十二题

对于任意的x，x∈（0，+∞），若函数f（x）=lgx，试比较[f（x）+f（x）]/2与f（）的大小关系.

这里给出例2（1）的解法：

解：[f（x）+f（x）]/2=（2+2）/2

∵2>0，2>0，∴2+2≥2=2=2，

∴（2+2）/2≥即[f（x）+f（x）]/2≥f（）.

两道题目虽然在不同的章节出现，但题目本质都是灵活应用基本不等式.分别在指数和对数函数中融入基本不等式，如果对题目的结果加以比较，真正掌握基本不等式这个知识点，那么此种类型的题目稍做改变，必能够举一反三，真正达到做题的效果.可见对题目反思何等重要.

（三）对解题方法反思，实现一题多解

对于一道题目，假如我们分析它们的不同角度，可能会得到不同的思考，从而想出不同的解题方法.因此，在解完一道题目之后，我们应当认真反思此题还有没有其他解决方法.通过探求新的方法，可以向不同的层次、不同的方向延伸学生的思维触角，可以由此找到最合适的解题方法，也拓宽了思维的途径.

例3：已知a、b、m为正实数，且a.

证明：要证明>成立，只要证明（a+m）b>（b+m）a成立，即ab+mb>ab+am，即mb>am.

因为a0，所以mb>am显然成立.

故原不等式得证.

我们回过头来看这道题的解题过程，发现还可以用下面这些方法解决：①综合法，②放缩法，③作差法，④作商法，⑤反证法，⑥函数单调性（设函数f（x）==1+，利用f（x）在[-b，+∞）上是增函数的定义来证明），⑦换元法

对于上述提供的方法，这里不一一加以证明.

二、反思

解题之后的多重反思，不仅有利于深入、全面地理解和掌握数学解题规律，而且有利于培养和提高学生的创新思维能力，还能使学生在解题训练中以一当十，摆脱“题海”，使复习效率倍增.