一道高考压轴题引发的对三次函数切线条数的探究

徐英

摘 要： 三次函数是高考的一个考点，题型为选择、填空、综合题，作者对三次函数任意一点处的切线条数进行探究，希望在解决这类问题时能有更简单的方法.本文通过探讨得出相关结论.

关键词： 三次函数 任意一点 切线条数

（1）在曲线C上方、对称中心处切线上方的公共区域内或曲线C下方、对称中心处切线下方的公共区域，过点Q只能作一条直线与曲线C相切.

（2）在曲线C上方、对称中心处切线下方的公共区域内或曲线C下方、对称中心处切线上方的公共区域.过点Q可以作三条直线与曲线C相切.

（3）在对称中心处切线上（除去对称中心），过点Q可作两条直线与曲线C相切.

于是，解（Ⅲ）过点A（-1，2）存在3条直线与曲线y=f（x）相切；过点B（2，10），存在2条直线与曲线y=f（x）相切；过点C（0，2）存在1条直线与曲线y=f（x）相切.

参考文献：

[1]刘雪.过三次函数曲线上定点的切线问题[期刊论文].中学数学杂志：高中版，2012（3）.