从圆周运动看参考系的选择

成杰

笔者在进行圆周运动教学的过程中，遇到两个题目，绝大多数学生对此都无从下手，少数学生做出来也都是错解，为什么会出现这样普遍而带有共性的错误呢？思索之后获得一点心得，拿出来与大家分享.

例1 如图1是自行车传动机构的示意图.假设脚踏板每2 s转一圈，要知道在这种情况下自行车前进的速度有多大，还需要测量哪些量？请在图中用字母标注出来，并用这些量推导出自行车前进速度的表达式.

利用你家的自行车实际测量这些数据，计算前进速度的大小，然后实测自行车的速度.对比一下，差别有多大？

先看教参上的解析：

解 如图2所示，需要测量r1、r2、r3.自行车前进的速度大小，v=2πr1Tr2r3.

说明 本题的用意是让学生结合实际情况来理解匀速圆周运动以及传动装置之间线速度、角速度、半径之间的关系.但是，车轮上任意一点的运动都不是圆周运动，其轨迹都是滚轮线.所以在处理这个问题时，应该以轮轴为参考物，地面与轮轴接触而不打滑，所以地面向右运动的速度等于后轮上一点的线速度.

从解析中可以看出，其思路是：

大齿轮角速度ω1=2πT，

由ω1r1=ω2r2小齿轮角速度ω2=ω1r1r1=2πr1Tr2，

车轮角速度ω3=ω2，

由v=ωr车轮线速度v=2πr1Tr2r3.

可见，解析中认为自行车前进的速度大小就等于车轮转动的线速度大小.

例2 在水平地面上匀速行驶的拖拉机，前轮直径为0.8 m， 后轮直径为1.25 m， 两轮的轴水平距离为2 m， 如图3所示.在行驶的过程中，从前轮边缘的最高点A处水平飞出一小块石子，0.2 s后从后轮的边缘的最高点B处也水平飞出一小块石子，这两块石子先后落到地面上同一处，求拖拉机行驶的速度的大小.（g取10 m/s2）

解析 由题设知，从A处水平飞出的石子和0.2 s后从B处水平飞出的石子均做平抛运动，抛出的初速度大小相等，且均为拖拉机行驶速度的2倍.如图4所示，有

xA=2vtA=2v2dAg，

xB=2vtB=2v2dBg，

x0=vt0，

xA+d=xB+x0，

联立以上各式解得拖拉机行驶的速度

v=d22dBg-22dAg+t0

=22×2×1.2510-2×2×0.810+0.2 m/s

=5 m/s.

我们知道，石子抛出时的速度与车轮线速度相同，而由例一中可知线速度大小与拖拉机速度大小相等，而这里却提到线速度是“拖拉机行驶速度的二倍”，这两题之间是否存在矛盾呢？

为了解决这个问题，还是让我们从最基本的参考系和线速度概念来寻找原因吧！

参考系是高中物理开篇第一节就介绍的物理概念，所谓参考系，是指在描述物体运动中“用来作为参考的物体”.参考系虽然简单，但是其在运动学中的地位却极其重要，它是我们在描述物体运动中首先要考虑的因素.不确定一个参考系，就无法描述一个物体的运动.而我们在描述物体运动的时候也都是在确定了一个参考系之后描述的，虽然有些时候我们在描述的时候并不明确的说出参考系，但也都暗含了参考系.

那么如何选择参考系呢？参考系的选择一般遵循以下几个原则：

（1）任意原则：任何物体都可以选做参考系；

（2）方便原则：选择方便研究问题的物体为参考系；

（3）默认原则：通常选择地面为参考系.

在这几个原则中，高中阶段最常用的还是第三个即选地面为参考系.因为高中阶段所研究的运动问题都是基本的、简单的、不涉及复杂的运动，更多的还是放在惯性参考系中研究，所以通常都是以地面为参考系.

正是由于描述运动时参考系的暗含性和其选择的默认性，以至于课本在描述一些速度和位移时并不明确指明其参考系.像我们用于描述圆周运动的一个物理量——线速度v=ΔlΔt，课本中是这样表述的ΔlΔt：（物体通过的弧长Δl与所用时间Δt的比值）反映了物体运动的快慢，叫做线速度.这里就没有明确提到其参考系是什么，但是若再结合角速度的描述“物体围绕圆心转动的快慢”，就可以发现：线速度的参考系是圆心！很多人忽略了这一点，再加上在很多圆周运动的问题中，圆心都是不动的，所以导致了很多人认为线速度v是相对于地面的，从而才产生了例题中的疑问.

当确定了这一点之后再来看这两个问题就很明确了.

问题一中，如图5（a）设车轮线速度为v，故与地面接触点相对车轴速度为v，方向向后，车轮顶点速度也为v，方向向前；而若以地面为参考系，如图5（b）则车轴速度为v，即车速与线速度大小相等为v，方向向前，而车轮顶速度为2v，方向向前.

问题二中，如圖6（a），以车轴为参考系，设线速度为v，则A点速度为v，方向向前，地面接触点速度为v，方向向后；而若以地面为参考系，如图6（b），则车轴速度为v，方向向前，A点速度2v，方向向前，即：抛出速度为拖拉机行驶速度的2倍.同理B点也是如此.

（当然，例2也可把轮子的触地点看做轮子的瞬时转动中心，A点（或B点）的转动半径为其轮轴转动半径的2倍，由v=ωr可知其线速度亦为轮轴运动速度，即拖拉机行驶速度的2倍.这也依然建立在以地面为参照系的基础上的）

可见，这两个问题其实是统一的，其主要原因还是在参考系的选择上.参考系选择好与坏，直接影响到我们对运动的理解和描述，甚而解不出题目，描述运动我们一定要慎重选择参考系.而本文这两题正是由于没有明确参考系的选择才导致了理解上的歧义.

综上可以发现，参考系是我们在描述问题、理解问题、处理问题过程中首先要考虑的东西，它贯穿于整个高中物理课程中，从运动到能量，再到动量，都能够看到参考系选择的影子.以上就是笔者由圆周运动所想到的关于参考系的几点看法，但愿能给读者带来一点启示.