几何直观：学习数学的脚手架

刘维玉

几何直观是指利用图形来描述和分析问题，借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路、预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学问题，在整个数学学习的过程中发挥着重要作用。但是有的人往往把几何直观与画图策略等同起来，其实二者并不是一回事。

一、几何直观并不等于画图策略

画图策略是通过画图的方法将抽象的问题具体化、直观化，从而帮助寻求解决问题的思路。这只是我们所学策略中的一种，而我们还会学到其他策略，如转化、倒推、列表、替换等。但是，在新课改中，几何直观已被列为十大核心素养之一、显然，将儿何直观简单等同于画图策略是不合理的。那么，几何直观在我们的课程里到底占据了怎样的地位呢？

让我们来看看其他几项核心素养，如推理能力、运算能力；应用意识、创新意识、符号意识；数据分析观念、空间观念；还有模型思想。在这里，几项素养或是能力或是意识或是观念甚至是思想。如果我们想在几何直观后面加上后缀，那应该是几何直观的能力或几何直观的观念或是几何直观的思想，而不仅仅足几何直观的策略了。

当然，几何直观和画图策略之间也是有一定相似的——都是借助图形来描述、分析问题，达到化抽象为直观的效果，起到打开解题思路的作用。但几何直观除此之外，更强调的是一种必备的能力素养，重点在于“直观”，需要我们具备利用几何方法来直观地表征题意、预测结果、理解数学的能力。

一、几何直观在数学教学中的应用

几何直观是一种捕述和分析问题的于段，有多种表现形式，在不同的教学内容和不同的教学环节里也有着不同的教学效果。在这里，我们着重探讨4种几何直观的具体作用。

1.挖掘问题中的隐含条件，形成解题思路

隐含条件是指在题目中没有明确告诉我我们，但却是我们已知的，并且在解题中是需要用到的知识比如说，三角形的两边之和大于第三边，一周有7天等概念。还有一种隐含条件是根据题目中的条件，我们可以简单地推想出来的结论，也就是我们常说的言外之意。

【案例1】在分数中解决问题

—个西瓜被妈妈平均分成数块。爸爸和妈妈共吃了这个西瓜的3/4，小强吃了2块，三人正好把这个西瓜吃完。这个西瓜被分成了多少块？

这是一道单元测验里的习题，从各班考试的结果来看，正确率极低。究其原因，很多学生不能把这里表示比值的分数3/4和具体的数量2块联系起来。而运用线段图，学生就会很自然地发现这里3/4和2块的潜在关系，其实就是“2块西瓜”对应“整个西瓜的”，这样便会发现解题思路了。

通过线段图这样的几何表示，将题目中的条件呈现在线段图里，我们发现，前面的三段用了体现比值的分数来表示，后面的一段用了具体数量来表示，这样的冲突引导我们思考：这里的2块就对应着分数，其实一段是2块；或者后面的一段表示2块，那么总共有4段也就是8块。通过直观的表示，我们发掘了题目中的隐含条件，打开了解题的思路。其实在类似的分数习题中，我们都可以借助这样的直观图来解决问题。

2.动态演示出问题中的变化过程，深化理解

数学是一门研究自然界数量关系和空间形式的科学。因此我们常常会遇到：一个量的变化引起另一个量的变化，如一个分数分母越大，分数的值就会越小；矩形面积一定的情况下，形状越接近正方形周长越小等，但简单的语言描述，在没有直观感知的情况下显得空洞抽象。

【案例2】长方形和正方形的周长相等，请问哪个图形的面积更大？

这道题蕴含了数学图形里的美妙特性——可以运用特殊值的方法来举例猜测验证。这是一种很好的数学能力，但是要理解其缘南，还是要借助几何直观的方法。

首先要解决的问题是怎样表示长方形和正方形的周长相等，就是当正方形的一条边减少时，另一条边就要增加相应的长度，这样就能保证长方形的一组邻边相等，即周长相等。我们可以看出，正方形减少的那部分面积比增加的这部分面积要大，所以可以推断出长方形比正方形的面积小。我们可以发现长方形越来越扁时，它的面积会越来越小。

通过图形的直观演示，我们发现周长不变的情况下，长和宽差距越大，长方形的面积就越小。可见，再美妙的语言都不能生动地表示出这一几何特性，只有动态几何可以直观演示出数学的这一神奇变化，在不断变化的过程中，让我们越来越接近数学的本质规律。

3.寻找知识间的内在联系，完善认知

数学中的很多知识都是相关联的，比如，通过求5条裤子和5条上衣的总价，可以引出乘法分配律的公式，同样，利用两个拼在一起的长方形求面积，也能说明乘法的分配律。通过几何直观，我们可以抽象出一些问题的本质，发现问题之间的内在联系，帮助学生更好地建构知识体系。

【案例3】5个朋友参加完聚会，一一道别，如果每两人都握一次手，一共要握多少次手？

这里，学生最容易想到的方法就是用5个不同的点，互相之间连线来表示握手的情况，然后数出线段的个数是10次。

如果我们换一个排列方法，把他们都放在一条线上，我们会发现，每一个线段都可以表示握于的一种情形，线段数就可以表示握手的次数。这样，一个代数问题就和图形中的数线段联系了起来。

数学知识间具有很强的关联性，正如学生的认知结构一样，通过不同知识点之间的关联，构成了错综复杂的网络结构。通过几何直观的方法抽象出问题的本质结构，发现内在的联系，我们就可以运用已知的方法来解决新问题了。

4.巧借牛活经验再现情景，直观感知

数学问题中很大一部分就是生活问题的简缩版，如学生坐船、爬楼梯的问题等。这时就可以结合生活经验，运用几何直观的方法将情境再现出来，直观地感知、感悟有关问题。

【例4】一列火车通过396米的大桥需要26秒钟，通过252米的隧道需要18秒钟，这列火车车身长是多少米？

在这一道题里，条件中没有出现火车的车身这样的关键词，但问题却求的是车身的长度，故只有借助几何的方法，直观地展示火车通过的情境，方能化解题目的难点。

通过几何直观再现火车运动的场景，找出时间和对应的运行路程，接着，通过列表整理出4个条件。这种实物直观的方法，在问题解决的教学中经常会用到。它借助常识和直觉，可帮助我们理解数量关系，进一步发展学生运用数学知识解决实际问题的能力。

总之，几何直观在数学教学中发挥着重要的作用。对于学生来说，它是必备的数学素养之一，可以帮助学生更直观地理解和分析数学问题；对教师来说，它也是一种必备的教学能力和素养。让我们一起借助几何直观，搭建学生数学学习的脚手架，引领他们去探索数学的奥秘与神奇，感受数学的独特魅力吧！