SVM在解偏微分方程边值中的应用

陈杰

摘 要：SVM是一种基于统计学习理论为基础的模式识别方法，其出色的学习和推广性能，使其在很多方面得到了应用，本文主要讨论其在解偏微分方程边值中的应用.

关键词：SVM；二次规划问题；偏微分方程

SVM是一种基于统计学习理论为基础的模式识别方法，它是由Boser，Guyon，Vapnik在COLT-92上首次提出，从此迅速地发展起来，现在已经在许多领域得到成功应用.SVM的主要思想是通过构造一个非线性的核函数来降低维的不可分的输入空间数据映射到高维可分的属性空间，然后再寻找一个满足分类要求的最优化分割超平面，并使其在保证分类精度的同时最大化超平面两侧的空白区域，所以，这种方法是全局最优的，不存在过学习问题[1].

1 边值问题

物理现象的规律大多是通过（偏）微分方程来描述的，形如：

但仅有方程是不能完全确定具体物理现象的，还需要给出适当的附加条件，一般把一个单独的方程称为“泛定方程”，而把完全确定具体物理现象规律的附加条件称为“定解条件”. 定解条件中最常见的是初始条件和边界条件两类，文中把相应的（偏）微分方程简称为边值问题，常见的边值条件如下：

第一类边界条件，也叫Dirichlet条件，是指函数在边界上为已知函数，即

第二类边界条件，也叫Neumann条件，即函数在边界是哪个满足

第三类边界条件，混合边界条件：在边界的一部分上满足一类边界条件，而其余部分满足第二类边界条件.

2 SVM解题步骤

在求解待定参数和微分方程边值问题中，只要事先假设出所求函数的表达式，然后根据已知的微分关系和边界条件对待求函数进行约束将原问题转化为二次规划问题，再采用支持向量机回归算法[2]对样本进行学习，即可确定待求函数的关系式. 求解步骤为：

（1）假设待定函数的表达式；

（2）根据已知函数关系对函数表达式进行处理；

（3）根据处理后的表达式处理数据，为SVM准备；

（4）采用SVM训练算法进行训练，求得待定参数，从而确定所求函数.

3 举例

求解下面偏微分方程边值问题：

4 结论

从结果看用支持向量机估计所得的函数与原函数解析解的值非常接近，误差范围一般在10-5～10-3之间.可以说，采用支持向量解回归解决边值问题在技术上完全可行.

参考文献

[1] 彭彬彬，等.基于SVM增量学习的用户适应性研究[J].计算机科学2013（3）.

[2] 周利萍，杨家红，黄务兰；基于SVM的回归学习算法及其在网页分类中的应用[J]；计算机时代；2004年11期.