一类具有二次和三次项的非线性振子方程的一种简单解法

王 斌

（兴义民族师范学院， 贵州 兴义 562400）

一类具有二次和三次项的非线性振子方程的一种简单解法

王 斌

（兴义民族师范学院， 贵州 兴义 562400）

应用何氏频率-振幅公式对一类具有二次和三次项的非线性振子方程获得了一个周期解，该方法简单，通过直接计算和计算机数值模拟表明获得的非线性振子方程的周期解是有效的。

何氏频率-振幅公式；二次和三次项；非线性；数值模拟；周期解

近年来，随着非线性科学的发展，各种方法已被广泛地应用于处理非线性问题。如变分方法（Variational Method）[1-4]，参数展开法（Parameter Expansion Method）[5，6], 同伦摄动法(Homotopy Perturbation Method）[7-10]，指数函数法（Exp-function Method）[11-12]，能量平衡法（Energy Balance Method），以及 L-P法(Lindstedt-Poincare)，谐波平衡法（Harmonic Balance），平均法（The Method of Averaging），多尺度法（Multiple Scales），渐进法（KBM）等。用这些方法处理各种非线性问题，各有其特点，但通常都比较复杂。在本文中，针对一类具有二次和三次项的非线性振子方程（1），通过应用何氏频率-振幅公式，给出了一种简单，直接，高精度的近似解法，并通过计算机数值模拟，验证了这种解法的有效性。

一、何氏频率-振幅公式与近似周期解

根据何氏频率-振幅公式，我们使用两个试函数u1（t）=Acost和u2（t）=Acosωt，它们分别是下面两个振子方程的解：

其中ω为振子方程（1）的频率.将u1（t）和u2（t）分别代入方程（1），整理得到如下残量

由文献[20,21]得何氏频率-振幅公式

其中t1和t2是局部点，通常取t1=T1/12，t2=T2/12，其中T1和T2分别是试函数u1（t）=Acost和u2（t）=A-cosωt的周期，即

由（3）（4）（5）（6）得

因此，可得系统(1)的近似周期解

二、数值模拟

在MATLAB7.8.0环境中进行计算机数值模拟（以下图示中：虚线表精确值，实线表近似值）。

a

b

c

d

e

对计算机数值模拟的分析总结：以上6种情况表明，在一定范围内，通过何氏频率－振幅公式所求得近似周期解具有较高的精度，通常情况下，在小时间范围内曲线拟合得较好，即具有较高的精度，但随着时间的增大，由于误差的累积传播，将会导致曲线拟合程度逐渐变差。因此，小时间范围内的解是可靠的。

三、结语

在一定范围内，对一类具有二次和三次项的非线性振子方程应用何氏频率-振幅公式求近似周期解，方法简单，直接，计算机数值模拟表明它具有较高的精度，因而是一种有效的方法，一般情况下能满足实际计算的精度要求，具有一定的应用价值。

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A Simple Solution for a Nonlinear Oscillator with Quadratic and Cubic Nonlinearities

WANG Bin
（Xingyi Normal University for Nationalities，Xingyi，Guizhou562400, China）

In this paper, He’s frequency-amplitude formulation is used to obtain a periodic solution for a nonlinear oscillator with quadratic and cubic nonlinearities. The method is simple, by direct calculate and computer numerical simulations showthat using the method to obtain the periodic solution for the nonlinear oscillator equation is effective.

He’s frequency-amplitude formulation;quadratic and cubic terms;nonlinearities;numerical simulation;periodic solution

1009—0673（2015）01—0118—03

O175.12

A

2014—12—03

王 斌（1975— ），男，贵州兴义人，兴义民族师范学院数学学院副教授，硕士，主要研究方向：非线性泛函微分方程。

责任编辑：张仕清