线性切换系统的ε—集合实用稳定性

张圩 王野平 颜伟霞 黄刘军 赵玮英

摘 要：本文研究了线性切换系统ε-集合实用稳定性，其中切换系统没有共同平衡点，并且每个子系统都是指数稳定的。本文通过找到一个固定的切换序列，依照这个切换序列选定一个固定集合，在给定的切换法则和集合下，证明了线性切换系统的ε-集合实用稳定性；最后给出了仿真结果，说明结论的正确性。

关键词：ε-集合实用稳定；切换法则；全局指数渐进稳定

1 概述

随着人类对各类控制系统精度需求的不断提高，对切换系统的研究也越来越受到更多科学家的关注。事实上，过去人们更多的关注有共同平衡点的切换系统，其中大部分都使用的是Lyapunov函数方法，可是找出Lyapunov函数并不容易。近些年，人们研究发现尽管这类子系统没有共同的平衡点，但是在给定合理的切换法则条件下，系统的轨线仍然能够表现出以前传统稳定系统类似的有趣的轨线行为，他们把这种行为定义为实用稳定性，同时也依赖能量函数在特定条件下给出了实用稳定性的一些充分条件。X. Xu给出了在给定切换法则条件下系统关于原点的ε-实用稳定性的定义。本文给出了在给定的切换法则条件下系统关于给定集合的ε-集合实用稳定性的定义，并给出了线性切换系统在特定条件下的ε-集合实用稳定性的一些充分条件。

2 实用稳定性和概念（Practical stability and some notions）

考虑线性切换系统

=Aix+bi，i∈I=1，2，···，m， （2.1）

这里Ai∈Rn×n是一个非奇异的矩阵，bi∈Rn，x∈Rn，m∈N是子系统的个数。令xi是第i子系统的平衡点。在本文中，我们总是假设：

（H1） 切换法则S是固定的，即切换序列是固定的；

（H2） 若Г[∩]Rn，x∈Rn，那么x与集合Г的距离被定义为ρ（x，Г）：

ρ（x，Г）=‖z-x‖，这里‖x‖代表向量x的范数

（H3） 存在α>0，M≥1， 使得对所有的i∈I，

‖e‖≤Me-αt，t≥0 （2.2）

定义2.1 （ε-集合实用稳定性）：假设对系统（2.1）给定切换法则S*和集合Г。给定ε>0，系统 （2.1）是在切换法则S*下关于Г集合是ε-集合实用稳定的，若对任意的t0≥0，这里都存在δ=δ（t0，ε）>0，使得当ρ（x（t0），Г）<δ时，对所有的t≥t0，都能得到ρ（x，Г）≤ε成立；

本文中，我们将研究系统（2.1）关于集合Г的ε-实用稳定性。

=Aix+bi，

x（t0）=x0 （2.3）

它很容易得到：对任意固定的i∈I，系统（2.3）的初值问题的解，

x（t）=e（x（t0）-xi）+xi （2.4）

这里xi是ith系统的平衡点。

令t时刻刚好切入i子系统，即当t∈[t，t）时，i子系统是被激活的子系统，对给定的ε>0，任意t∈[t，t]，定义切换法则如下：t满足

S1：t≥t，T≤t-t<+∞，k=1，2，···，m=1，2，··· （2.5）

且 Tl=max

-

ln

，，l=1，2，···。那么对任意的t∈[tk，tk+1]，k∈N，可得x（t）=e（x（t）-x）+x，t∈[t，tk+1），

由曲线 x（t）和y（t）的性质可得

ρ（x（t），Γ）=inf‖x（t）-e（x-x）-x）‖=‖x（t）-y（t）‖

令Γ1=

y（t） t∈

[t，tk+1）

y（t） t∈[tk+m，tk+m+1），m=1，2，...， （2.6）

其中y（t）=e （ x-x）+x ，y（t）=e（x-x）+x 。

引理2.1 对给定ε>0和切换法则S1，[∨] t， δ（ε）>0，使ρ（x（t），Γ）<δ时满足

‖x（tk+m）-x ‖<，k=0，1，2，···，m=1，2，··· （2.7）

证明：对给定的ε>0，令δ=，由于ρ（x（t），Γ）<δ，可得

‖x（t）-y（t）‖<δ。

当m=1时，可得

‖x（tk+1）-x‖=‖e（x（t）-x）‖=‖e（x（t）-y（t）+y（t）-x）‖≤Me‖x（t）-y（t）‖+Me‖x-x‖<。

當m=n时，假设式（2.7） 成立，即‖x（tk+n）-x‖<，k=0，1，2，···。

那么，当m=n+1时，我们有‖x（tk+n+1）-x‖=‖e（x（t）-x）‖≤Me‖x（tk+n）-x‖+Me‖x-x‖<+=。

注2.1 从系统（2.2）全局指数渐进稳定性的性质和t ≥tk+m以及引理2.1中可得：对给定的ε>0， δ（ε）>0，使得当ρ（x（t），Γ）<δ时，满足

‖x（ t）-x‖<，k=0，1，2，··· （2.8）

3 主要结论（Main Results）

定理 3.1 对给定的ε>0和集合Γ1，切换系统（2.1） 在切换法则S1下关于集合Γ1是ε-集合实用稳定的。

证明： 当t∈[t，t），m=0，1，2，···，时， i（k∈N）子系统被激活，于是切换系统（2.1）在切换法则S1下的解为

x（t）=e

（x（

t）-

x）

+x， t∈[

t，

t），

e

（x（

t）-

x）+

x， t∈[

t，

t ） （3.1）

a 當t∈[t，t）时，由于t≥tk+1，我们可以分两个区间来研究。

当t∈[t，t）时，可得

ρ（x，Γ）=inf ‖x（t）-y（t）‖≤‖e（x（t）-x）-e（y（t）-x）‖≤Me‖x（t）-y（t）‖<ε。

当t∈[t，t ）时，可得

ρ（x，Γ）≤inf‖x（t）-y（z）‖≤‖x（t）-x‖≤‖e（x（tk+1）-x）‖≤Me‖x（tk+1）-x‖<ε。

b当t∈[t，t）时，由于t-t≥tk+m+1-tk+m，那么我们也同样分成两个区间研究，这里m=1，2，...。

当t∈[t ，t+ tk+m+1-tk+m ）时，可得

ρ（x（t），Γ）≤inf ‖e（x（t）-x）-e（x-x）‖

通过自治系统的平移性，轨线沿t轴向左平移t-tk+m单位，可得

ρ（x（t），Γ）≤inf‖e（x（t）-x）- e（x-x）‖≤

inf‖e（x（t）-x）- e（x-x）‖≤‖e（x（t）-x）‖≤Me‖x（t）-x‖<ε。

当t∈[ t+tk+m+1-tk+m，t）时，

ρ（x（t），Γ）=inf z∈[0，+∞）‖x（t）-y（z）‖≤inf‖e（x（t）-x）+x-y（z）‖≤Me ‖（x（t）-x）‖+ Me‖x-x‖<≤ε。

综合a和b，定理得证。

4 仿真结果（Simulation）

例 考虑下面这个切换系统

=Aix+bi，i=1，2，3， （4.1）

其中 A1=-1 1

0 -2 ，A2=-3 0

-2 -1 ，A3=-2 1

1 -2 ，b1=（-5，3）T，b2=（2，-4）T，b3=（3，1）T。

定义x1，x2，x3为子系统1，子系统2，子系统3的平衡点。易得 x1=（-1.1429，3.7143）T，x2=（-1.2857，-2.4286）T，x3=（1.1538，-1.2308）T。

令M=2，α=1.6，ε=0.1，k=1，则δ=0.0125，假设初始时t0=0，初始状态为x（t0）=（-1.1，3.7）T，并且初始子系统为子系统1。这里我们取t =2∈[t1，t2）， 则x（t）=（-0.353，-2.11）T，根据定理3.1，算出切换时间序列并且选取集合Γ。为方便，选取

t1=1，t2=5.5，t3=9，t4=12.5，t5=15.5，t6=19.5，···；

t=2，t=6，t=11，t=15，t=19，t=24，···。

参考文献：

[1] Michael M. Stability analysis of switched systems using variatio-nal principles：An introduction[J]. Automatica， 2006：（42） 2059-2077.

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