恒成立问题的解题对策

查正开

在数学学习和解题中我们经常会碰到在给定条件下某些结论恒成立的问题，我们怎样来处理解决呢？函数在给定区间上某结论成立问题，其表现形式通常有：（1）在给定区间上某关系恒成立；（2）某函数的定義域为全体实数R；（3）某不等式的解为一切实数；（4）某表达式的值恒大于a等.

恒成立问题，涉及到二次函数、指对数函数、三角函数等函数的图象与性质，渗透着分类讨论、换元化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的深刻性、灵活性和创造性等方面起到了积极的作用，因此已成为全国各地高考的一个热点.为此，笔者通过几个例题来探求研究这类恒成立问题的“基本套路”，供读者参考，

一、恒成立问题的解题策略

1.构造函数

在解决恒成立问题时，一种最重要和最基本的思想方法就是建构一个合适的函数，然后利用相关函数的图象和性质解决问题，同时注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的主变量，从而揭示函数关系本质，使问题清晰明了、容易人手，一般来说，已知范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数.