直觉模糊软群与直觉模糊正规软群

周　锋，姚炳学

（聊城大学数学科学学院，山东，聊城　252059）

直觉模糊软群与直觉模糊正规软群

*周锋，姚炳学

（聊城大学数学科学学院，山东，聊城252059）

在直觉模糊集理论的基础上，引入了直觉模糊软群的概念。讨论了其关于软集的交、并运算的性质，研究了直觉模糊软群的结构特征，提出了直觉模糊软映射下直觉模糊软集的像与原像的概念，最后研究了直觉模糊正规软群的概念及性质。

直觉模糊集；直觉模糊子群；直觉模糊正规子群；直觉模糊软群；直觉模糊正规软群

0　引言

不确定性是信息的一大特点，为了处理不确定性问题，相继产生了模糊集［1］、粗糙集［2］等理论。然而，这些理论只能处理一部分的不确定性问题。为了更好解决不确定问题，1999年Molodtsov［3］提出了软集的概念。如今软集理论已被成功应用到众多领域［4-8］。近十多年来，许多学者将软集理论推广到模糊情形。比如，2001年Maji等［9］引入了模糊软集的概念。同年，Maji等［10］将直觉模糊集与软集模型结合，提出了直觉模糊软集理论。本文利用直觉模糊软集理论，给出了直觉模糊软群的概念，并讨论了其关于软集的交、并运算的性质，研究了直觉模糊软群的结构特征，最后提出了直觉模糊软映射下直觉模糊软集的像与原像的概念。另外给出了直觉模糊正规软群的概念性质，也探讨了其关于软集的交、并运算的性质。

1　预备知识

在本文中G，G1，G2表示为一个群。

定义1.1［11-12］设U是一非空经典集合，U上形如的二元组，称为U上的一个直觉模糊集。 其中和分别表示A的隶属函数和非隶属函数，且满足的所有直觉模糊子集构成的集合记为IF（U）。

定义1.2［13］设A和B是U上的直觉模糊集，

定义1.3［13］设A∈IFU称为模糊子集A的水平截集。

定义1.4［13］设A∈IF（G），则A为G的直觉模糊子群的充要条件是：

定义1.6［3］设A为初始论域，E为参数集，P（U）为U的幂集， A⊆E，称（F， A）为U的软集。这里，F为映射F: A→P（U）。

定义1.7［15］设（F， A）为G的软集，若∀a∈A， F（ a）为G的子群，则称（F， A）为G的软群。

定义1.8［16］设（F， A）为G的软集， 若∀a∈A， F（ a）为G的正规子群，则称（F， A）为G的正规软群。

定义1.9［17］设U为初始论域，E为参数集，A⊆E，则称（F， A）为U的直觉模糊软集，这里，F为映射F: A→IF（U）。

定义1.11［17］设（F， A）和（H， B）为论域U的直觉模糊软集，若满足：（1）A⊆B， （2）∀a∈A， F（ a）⊆H（ a），则称（F， A）是（H， B）的直觉模糊软子集，记为（F， A）⊆（H， B）。

定义1.12［17］设（F， A）和（H， B）为论域U的直觉模糊软集，记（F， A）和（H， B）的交为（F， A）∩（H， B）=（K， C），其中C=A∩B，∀c∈C ，K（ c）=F（ c）∩H（ c ）。

2　直觉模糊软群

定义2.1设（F， A）为G的直觉模糊软集， 若∀a∈A ， F（ a）是G的直觉模糊子群，则称（F， A）为G的直觉模糊软群。

定理2.1设（F， A）为G的直觉模糊软集，则（F， A）为G的直觉模糊软群的充分必要条件是：

∀a∈A ，∀x， y∈G，

定理2.2设（F， A）为G的直觉模糊软集，则

F（ a）是G的直觉模糊子群。由定义2.1知：（F， A）为G的直觉模糊软群，所以为G的软群。

定理2.3 设（F， A）和（H， B）为G的直觉模糊软群， 则下列结论成立:

∀c∈C ，K（ c）是G的直觉模糊子群，所以（F， A）∩（H， B）也是G的直觉模糊软群。

（2） 设（F， A）∪（H， B）=（K， C），由于A∩B=Ø，则∀c∈C，K（ c）=F（ c）或者K（ c）=H（ c）。由于F（ c），H（ c）都是G的直觉模糊软群，故∀c∈C，K（ c）是G的直觉模糊软群，所以（F， A）∪（H， B）也是G的直觉模糊软群。

定义2.2设（F， A）和（H， B）为G的直觉模糊软群，若（H， B）是（F， A）的直觉模糊软子集，则称（H， B）是（F， A）的直觉模糊软子群，记为

定义2.3设（F， A）和（H， B）分别X和Y上的直觉模糊软集，若φ是X到Y上的映射，ψ是A到B的映射，则称（），φ ψ是X到Y的直觉模糊软映射。

定义2.4设（F， A）和（H， B）分别是X和Y上的直觉模糊软集，（φ ，ψ）是X到Y的直觉模糊软映射，定义Y上的直觉模糊软集（φ（F），ψ（A））：

则称直觉模糊软集（φ（F），ψ（A））是（F， A）在（φ ，ψ）之下的像，记为（φ ，ψ）（F， A）=（φ（F），ψ（A））。

定义2.5设（F， A）和（H， B）分别X和Y上的直觉模糊软集，（φ ，ψ）是X到Y的直觉模糊软映射，定义X上的直觉模糊软集（φ-1（H），ψ-1（B））：

定义2.6 设（F， A）和（H， B）分别是G1和G2上的直觉模糊软集，（φ ，ψ）是G1到G2的直觉模糊软映射，若φ是G1到G2的群同态映射，则称（φ ，ψ）是G1到G2的直觉模糊软同态映射。

定理2.4 设G1和G2是两个群，（F， A）是G1的直觉模糊软子群，（φ ，ψ）是G1到G2的直觉模糊软同态映射，则（φ ，ψ）（F， A）是G2的直觉模糊软子群。

证明 由定理2.3知得（φ ，ψ）（F， A）=（φ（F），ψ（A））。对于∀ε*∈ψ（A）， ∀y1， y2∈G2：

（1） 当φ-1（y1）=Ø或者φ-1（y2）=Ø时：

由定理2.2知（φ（F），ψ（A））是G2的直觉模糊软子群。

（2） φ-1（y1）≠Ø且φ-1（y2）≠Ø时：∃x1， x2∈G1，使得φ（x1）=y1，φ（x2）=y2，根据题设条件（φ ，ψ）是G1到G2的直觉模糊软同态映射可知y1y2=φ（x1）φ（x2）=φ（x1x2）。 因为（F， A）是G1的直觉模糊软子群， 所以：

同理可证：

因此（φ ，ψ）（F， A）是G2的直觉模糊软子群。

定理2.5设G1和G2是两个群， （H， B）是G2的直觉模糊软子群，（φ ，ψ）是G1到G2的直觉模糊软同态映射，则（φ ，ψ）-1（H， B）是G1的直觉模糊软子群。

证明 由定义知

∀ε∈ψ-1（B），∀x1， x2∈G1，因为（H， B）是G2的直觉模糊软子群，且（φ ，ψ）是G1到G2的直觉模糊软同态映射，所以：

同理可证：

3　直觉模糊正规软群

定义3.1设（F， A）为G的直觉模糊软集，若∀a∈A ， F（ a）是G的直觉模糊正规子群，则称（F， A）为G的直觉模糊正规软群。

定理3.1 设（F， A）为G的直觉模糊软集，则（F， A）为G的直觉模糊正规软群的充分必要条件是：∀a∈A，∀x， y∈G，

定理3.2设（F， A）为G的直觉模糊软集，则（F， A）为G的直觉模糊正规软群，当且仅当∀α， β∈I ，（F， A）α，β为G的正规软群。

证明必要性：假设（F， A）为G的直觉模糊正规软群，由定理1.6知（F， A）为G的直觉模糊软群。

定理3.3 设（F， A）和（H， B）为G的直觉模糊正规软群， 则下列结论成立:

（1）若A∩B≠Ø，则（F， A）∩（H， B）也是G的直觉模糊正规软群；

（2）若A∩B=Ø，则（F， A）∪（H， B）也是G的直觉模糊正规软群。

证明（1）设（F， A）∩（H， B）=（K， C），则∀c∈C ，∀x， y∈G，

∀c∈C ，K（ c）是G的直觉模糊正规子群，所以（F， A）∩（H， B）也是G的直觉模糊正规软群。

（2） 设（F， A）∪（H， B）=（K， C），由于A∩B=Ø，则∀c∈C，K（ c）=F（ c）或者K（ c）=H（ c）。由于F（ c），H（ c）都是G的直觉模糊正规子群，故∀c∈C，K（ c）是G的直觉模糊正规子群，所以（F， A）∪（H， B）也是G的直觉模糊正规软群。

定理3.4 设G1和G2是两个群， （φ ，ψ）是G1到G2的直觉模糊软同态映射，且φ是G1到G2的满同态。若（F， A）是G1的直觉模糊正规软子群，则（φ ，ψ）（F， A）是G2的直觉模糊正规软子群。

定理3.5设G1和G2是两个群，（φ ，ψ）是G1到G2的直觉模糊软同态映射，若（F， A）是G2的直觉模糊正规软子群，则（φ ，ψ）-1（F， A）是G1的直觉模糊正规软子群。

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INTUITIONISTIC FUZZY SOFT GROUPS AND INTUITIONISTIC FUZZY NORMAL SOFT GROUPS

*ZHOU Feng，YAO Bing-xue
（School of Mathematics Science， Liaocheng University， Liaocheng ，Shangdong 252059， China）

On the basis of intuitionistic fuzzy set theory， we introduce the concept of intuitionistic fuzzy soft group and discuss relevant properties.We also study the structural characteristics of intuitionistic fuzzy soft group and propose the intuitionistic fuzzy soft mapping of intuitionistic fuzzy soft set like with the original concept.Finally we study the intuitionistic fuzzy normal soft group of concepts and properties.

intuitionistic fuzzy sets； intuitionistic fuzzy subgroups； intuitionistic fuzzy normal subgroup；intuitionistic fuzzy soft group； intuitionistic fuzzy normal soft group

O153

ADOI:10.3969/j.issn.1674-8085.2015.02.001

1674-8085（2015）02-0001-05

2014-12-05；修改日期：2015-02-06

国家自然科学基金项目（11471152）

*周锋（1987-），男，山东滕州人，硕士生，主要从事模糊代数与粗糙代数研究（E-mail: zf4033@163.com）；

姚炳学（1963-），男，山东诸城人，教授，主要从事模糊系统与粗糙集理论研究（E-mail: yaobingxue@lcu.edu.cn）.