变厚度圆板、环板振动分析的传递矩阵法*

佘银柱　秦慧斌　吕　明（1太原工业学院机械工程系　太原　00008）（中北大学机械工程与自动化学院　太原　00051）（太原理工大学机械工程学院　太原　0004）

变厚度圆板、环板振动分析的传递矩阵法*

佘银柱1†秦慧斌2吕明3
（1太原工业学院机械工程系太原030008）（2中北大学机械工程与自动化学院太原030051）（3太原理工大学机械工程学院太原030024）

变厚度圆板和环板是在工程设计中经常遇到的一类构件，与等厚度板相比，通过适当的沿径向厚度的变化，这种变厚度板在振动、失稳、弯曲等方面能起到更好的效果。将沿径向任意变厚度圆板、环板划分为一系列等厚度环板单元，基于Mindlin中厚板理论采用逆向推导的方式推导了其传递矩阵，建立起变厚度圆板、环板的频率方程。通过计算线性变厚度环板自由振动时的频率，并与ANSYS模态分析结果相比较，验证了计算模型的精确性。逆向推导法避免了高阶数传递矩阵推导复杂的问题，是对传递矩阵法的很好推广。

中厚板，变厚度环板，横向弯曲振动，传递矩阵法

1　引言

变厚度圆板和环板是在工程设计中经常遇到的一类构件，与等厚度板相比，通过适当的沿径向变化厚度，这种变厚度板在振动、失稳、弯曲等方面能起到更好的效果，因此他们的动力学特性也备受关注。对等厚度圆板和环板的振动，到上世纪七八十年代，Leissa的专著［1］和一系列文章［2-4］总结了前人成果，并作了更全面深入的研究，形成了较为完备的理论体系。此后许多学者对不同变厚度形式及不同边界条件下圆板与环板的振动进行了分析研究［5-16］，其中有些研究是针对特定类型的圆板或环板，如Lenox研究了抛物线变厚度圆板的振动［5］，Singh B研究了双线性变厚度圆板的振动［7］，Luisoni研究了线性变厚度圆板的振动［8］等，实际应用中会有一定的限制。在求解方法上典型的有三节点环元法、微分求积法、Kantorovich延拓法、能量变分数值法、半解析法及罚函数法等，这些方法各有特点，丰富了圆板的振动理论。近些年，一些学者开始基于三维弹性振动理论对非线性变厚度圆板及环板的振动频率进行精确求解［17-18］，但这种方法较复杂，计算量大，尤其在求解高阶振动频率时。

传递矩阵法是工程中常用的一种简便计算方法，由Lrie T等人于上世纪70年代提出，由于它力学概念清晰，计算精确度高，受到广泛关注。目前实际应用中该方法多采用四阶以下低阶传递矩阵，如文献［19］变幅杆纵向振动的二阶传递矩阵推导过程已很繁琐，随着传递矩阵阶数的增高，矩阵推导难度成倍提高，这为变量多、传递矩阵阶数高的应用场合带来诸多不便。基于Mindlin中厚板理论，采用逆向推导的方法推导出了等厚度环板内外表面间各状态分量的六阶传递矩阵，并在此基础上推导了用传递矩阵计算各向同性变厚度圆板、环板固有频率的方法，适用于沿径向任意变厚度及不同支撑条件下的圆板、环板。计算结果与ANSYS模态分析结果进行了比较，验证了计算模型的精确性。

2　等厚度环板内外表面间力和形变的关系矩阵

图1为一等厚度环板，以环板中心为坐标原点建立极坐标系r，θ，z。环板内径为a，外径为b，厚度为h。在r=a的内表面和r=b的外表面分别有力学分量Mr，Mrθ，Qr及形变分量w、βr、βrθ，如图1所示。其中Mr，Mrθ分别为板圆柱截面上r向和θ向弯矩；Qr为截面上z向剪力；βr、βrθ分别为圆柱截面上r向和θ向转角；w为板z向挠度。图1中环板内表面的力学分量和形变分量标注下标a，环板外表面的力学分量和形变分量标注下标b。

图1　等厚度环板Fig.1 Annular plate with constant thickness

根据Mindlin理论可以把圆环外表面的各分量表示为如下形式［20］

式（1）中A1，B1，A2，B2，AH，BH为待定常数，Dbij（i，j=1～6）是由Bessel函数构成的函数式，由Mindlin理论所确定［20］。

同理对环板内表面有

式（2）中A1，B1，A2，B2，AH，BH是与式（1）相同的待定常数。可以假设环板内、外表面间的力和形变分量满足某种函数关系，将这种函数关系设为式（3）的形式，式（3）中Cij（i，j=1～6）是未知量。设由Cij组成的矩阵为T矩阵。T矩阵是等厚度环板内、外表面间力和形变的关系矩阵，以下进行T矩阵的推导。

在Matlab中可以方便地求出C1，C1的转置矩阵即是关系矩阵T的第一行元素。同理可得C2、C3、C4、C5、C6，由此可以求得T矩阵为

3　沿径向任意变厚度圆板、环板的传递矩阵

图2（a）为变厚度环板，以环板中心为原点建立极坐标系，环内径为r1，外径为r2。当r1=0时，环板就成为变厚度圆板。图2（a）中h0为r=r1处的厚度。环板（或圆板）的厚度变化函数为

式（8）中f（r）可以是关于r的任意函数。将变厚度环板沿径向进行离散化，划分为n个等宽度、等厚度环板，如图2（b）所示，最外圈为第1个环单元，最内圈为第n个环单元。当r1=0时，则第n个单元相应变为板单元。每个环单元或板单元的厚径比不受中厚板理论r/d≤0.5的限制。第i个环板单元的厚度为hi=h0f（ri），ri为第i个板单元的平均半径。

对于第i个环板单元，其外表面与内表面间力和形变应满足式（3），即

且相邻环板单元间力和形变满足关系

图2　变厚度环板及其离散化模型Fig.2 Annular plate with variable thickness and its discretization model

因此对于图2变厚度环板有

式（9）中Tn是第n个环板单元的关系矩阵。则变厚度环板总的传递矩阵为

变厚度实心圆板的第n个单元为圆板，所以有

总的传递矩阵为

4　沿径向任意变厚度圆板、环板的频率计算

4.1变厚度圆板、环板的频率方程

当变厚度环板的支撑条件为内外自由时，则其内外表面Mr，Mrθ，Qr均为零，将此边界条件带入式（9）可得

要使方程（13）有非零解，则上式T矩阵中的元素应满足

式（14）即是变厚度环板自由振动时的频率方程。对变厚度圆板的自由振动，由边界条件及式（11）可得其频率方程，形式与式（14）同。其他边界条件的频率方程推导与此类似，不再重复。

4.2计算实例

，若式中-1＜e＜0，则环板为线性变薄，形状如图3（a）所示；若式中0＜e，则环板为线性增厚，形状如图3（b）所示。

图3　线性变厚度环板剖面图Fig.3 Cross-section of annular plate with linear variable thickness

图4　行列式的值Δ随环板频率f变化的曲线Fig.4 Curve of that value of determinant versus frequency of annular plate

为验证计算的准确性，采用ANSYS 10.0对该变厚度环板作了有限元模态分析，单元类型为SOLID95，智能自由网格划分模式，模态提取方法为Block Lanczo。SOLID95单元有20个节点，每个节点有x，y，z三个方向自由度，可适用于空间任何方向弹性、蠕变、应力、刚度、大挠度、大应变分析，能够用于不规则形状而不会在精度上有任何损失。模态分析得到环板分别在频率9431 Hz，32104 Hz，59670 Hz处作零节径纯弯曲振动，节圆数分别为0，1，2，其余均为复杂振型。表1比较了计算频率与模态分析结果，其中n为环板振动的节圆数。从表中可以看出两种方法所得频率的相对偏差很小，传递矩阵法所得频率均略小于有限元模态分析结果，其原因有待进一步研究。

求得环板的传递矩阵后，综合边界条件方程组和必要的初始条件，可以求得式（1），式（2）中待定常数A1，A2，A3，A4，A5，A6，从而完全确定环板振动各力学分量和形变分量的函数式。当此环板自由振动频率为9430 Hz时，设环板内孔位置的初始最大位移为10µm，可求得环板沿径向的振幅分布，如图5所示，其中在半径约为39.4 mm位置振幅为零，在环板外缘位置振幅为-9.075µm。

表1　线性变厚度环板的计算频率与模态分析结果的比较Table 1Comparison between the calculated frequency and that obtained by ANSYS of annular plate with linear variable thickness

图5　f=9430 Hz时环板振幅沿径向的分布曲线Fig.5 Amplitude distribution curve of the annular plate at the frequency of 9430 Hz

在ANSYS中进一步做谐响应分析，环板内孔表面加10µm位移载荷，求得在谐振频率为9431 Hz时环板沿径向振幅分布，如图6所示。可以看出图5与图6环板振幅的变化趋势完全一致。谐响应分析求得环板在半径39.5 mm位置振幅为零，在外缘位置振幅为-9.163µm，与理论计算结果也非常接近。

图6　f=9431 Hz时环板振幅沿径向的分布曲线Fig.6 Amplitude distribution curve of the annular plate at the frequency of 9431 Hz

表2列出了不同厚径比环板在自由振动时的第一阶固有频率，其中环板的材料参数和厚度函数与表1相同，几何参数为：r1=10 mm，r2=60 mm，h0=2τr2；fA为有限元模态分析结果。从表2可以看出环板的一阶频率随厚径比的增大而增大，并且随着厚径比的增大，f与fA的相对偏差也逐渐增大。这种现象是由于Mindlin理论在推导中做了一定的假设和简化造成的，Mindlin理论要求板的厚径比满足条件τ≤0.5，τ越靠近0.5这一极限值，产生的偏差也越大，但从和有限元模拟结果的比较来看，这种偏差仍在工程可接受范围内。

表2　不同厚径比环板一阶固有频率的比较Table 2 Comparison of frequency between the annular plates with variable thicknessdiameter ratio

图7　等厚圆板与线性变厚度圆板各阶频率的变化曲线Fig.7Change curves of frequency of circular plates with constant thickness and that with linear variable thickness

从图7中可以看出三种圆板的无因次频率λ都随振动时节圆数n的增高而近似线性增大，且τ=0.2时变厚度圆板的各阶频率都介于τ=0.2和τ=0.1等厚度圆板的各阶频率之间，大于前者而小于后者，几乎约等于二者的平均值。经计算其他形状变厚度圆板、环板也有相似规律。

5　结论

基于Mindlin中厚板理论，采用逆向推导的方式推导了环板单元的六阶传递矩阵，在此基础上建立了沿径向任意变厚度圆板、环板的振动模型，结合数值求解法，能方便求得变厚度圆板、环板各种约束条件下的振动频率，也可以用来分析各物理参数对圆板、环板振动频率的影响规律。逆向推导法避免了高阶数传递矩阵推导困难的问题，是对传递矩阵法的很好推广。

传递矩阵法适合于用计算机求解沿径向任意变厚度的圆板、环板的振动频率，方法简单，只需要不多的离散单元就可以获得较高计算精度，且适用各种边界条件。当圆板或环板沿径向等厚时，用传递矩阵法建立的频率方程就自然退化为普通等厚圆板、环板的频率方程，计算结果与Mindlin理论等厚板的计算结果完全一致。

变厚度圆板、环板的传递矩阵及频率方程基于Mindlin中厚板理论推导而得，因此在使用中要受到Mindlin理论适用范围的限制，即板的最大厚径比τ须满足小于等于0.5的条件，在此范围内计算结果有较高准确性。

［1］LEISSA A W.Vibration of plates［R］.Washington D C：US Government Printing Office，1969.

［2］LEISSA A W.Recent research in plate vibrations，1973-1976：Complicating effects［J］.Shock and Vibration Digest，1978，10（12）：21-35.

［3］LEISSA A W.Plate vibration research，1976-1980：Complicating effects［J］.Shock and Vibration Digest，1981，13（10）：19-36.

［4］LEISSAAW.Recentstudiesinplatevibrations，1981-1985：part II-complicating effects［J］.Shock and Vibration Digest，1987，（19）：10-24.

［5］LENOX T A，CONWAY H D.An exact，closed form solution for the flexural vibration of a thin annular plate having a parabolic thickness variation［J］.Journal of Sound and Vibration，1980，68（2）：231-239.

［6］SINGH B，CHAKRAVERTY S.Transverse vibration of circular and elliptic plates with variable thickness［J］. Indian J.Pure Appl.Math.，1991，（22）：787-803.

［7］SINGH B，SAXENA V.Axisymmetric vibration of a circular plate with double linear variable thickness［J］. Journal of Sound and Vibration，1995，179（5）：879-897.

［8］LUISONI L E，LAURA P A A，GROSSI R.Antisymmetric modes of vibration of a circular plate elastically restrained against rotation and of linearly varying thickness［J］.Journal of Sound and Vibration，1977，55（3）：461-466.

［9］GUTIERREZ R H，ROMANELLI E，LAURA P A A.Vibration and elastic stability of thin circular plates with variable profile［J］.Int.J.Mech.Sci.，1998，40（11）：1089-1104.

［10］SINGH B，HASSAN S M.Transverse vibration of a circular plate with arbitrary thickness variation［J］.Journal of Sound and Vibration，1996，195（3）：391-399.

［11］CORTINEZ V H，LAURA P A A.Analysis of vibrating rectangular plates of discontinuously varying thickness by means of the Kantorovich extended method［J］.Journal of Sound and Vibration，1990，137（3）：457-461.

［12］武兰河.求解不连续中厚板自由振动的微分容积解法［J］.计算力学学报，2004，21（1）：121-128.

WU Lanhe.Differential cubature element method for free vibration analysis of moderately thick plates with discontinuities［J］.Chinese Journal of Computational Mechanics，2004，21（1）：121-128.

［13］ZHOU Z H，WONG K W，XU X S，et al.Natural vibration of circular and annular thin plates by Hamiltonian approach［J］.Journal of Sound and Vibration，2011，330（5）：1005-1017.

［14］LIANG B，SHU F Z，CHEN D Y.Natural frequencies of circular annular plates with variable thickness by a new method［J］.International Journal of Pressure Vessels and Piping，2007，84（5）：293-297.

［15］佘银柱，吕明，王时英.阶梯变厚度齿轮的弯曲振动［J］.机械科学与技术，2013，32（1）：116-119.

SHE Yinzhu，LYU Ming，WANG Shiying.Transverse bending vibration of gear with stepped variable thickness［J］.Mechanical Science and Technology for Aerospace Engineering，2013，32（1）：116-119.

［16］王璠，胡银燕.厚度变化对中厚环形板非线性振动的影响［J］.暨南大学学报（自然科学与医学版），1999，20（3）：23-27.

WANG Fan，HU Yinyan.Effect of varying thickness on non-linear vibration of thick annular plates［J］.Journal of Jinan University（Natural Science&Medicine Edition），1999，20（3）：23-27.

［17］KANG J H.Three-dimensional vibration analysis of thick，circular and annular plates with nonlinear thickness variation［J］.Computers and Structures，2003，81（16）：1663-1675.

［18］秦慧斌，吕明，王时英.环盘轴对称振动频率的三维振动里兹法求解［J］.振动与冲击，2013，32（17）：52-58.

QIN Huibin，LYU Ming，WANG Shiying.3D elastic vibration Ritz method for solving axisymmetric natural frequencies of an annular disk［J］.Journal of Vibration and Shock，2013，32（17）：52-58.

［19］王时英.超声珩齿变幅器的设计理论与实验研究［D］.太原：太原理工大学，2008.

［20］曹志远，杨昇田.厚板动力学理论及其应用［M］.北京：科学出版社，1983.

Transfer matrix method for vibration analysis of circular and annular plates with variable thickness

SHE Yinzhu1QIN Huibin2LYU Ming3
（1 Department of Mechanical Engineering of Taiyuan Institute of Technology，Taiyuan 030008，China）（2 School of Mechanical Engineering&Automation，North University of China，Taiyuan 030051，China）
（3 College of Mechanical Engineering of Taiyuan University of Technology，Taiyuan 030024，China）

Plates with variable thickness are used widely in many engineering structures and machines.By appropriate variation of the plate thickness，these tapered plates can have significantly greater efficiency for bending，bucking，and vibration as compared to plates of uniform thickness.The circle or annular plate with tapered thickness is divided into a series of annular plate with uniform thickness along its radial direction，and its transfer matrix is deduced using the backward-deduction method based on the Mindlin theory for moderate-thick plates.Then the frequency equation of the circle and annular plate with tapered thickness is formulated by applying principle of transfer matrix method.Numerical results are presented for completely free，annular plate with linear variation in thickness，and the accuracy of the calculation model is verified by comparisons made between results obtained from transfer matrix method and that obtained from ANSYS.The backward-deduction method avoids complex deduction of the higher order transfer matrix，which is a beneficial promotion of transfer matrix method.

Moderate-thick plates，Annular plate with variable thickness，Transverse flexural vibration，Transfer matrix metho

TH1131，O242.2

A

1000-310X（2015）05-0425-08

10.11684/j.issn.1000-310X.2015.05.007

2014-11-05收稿；2015-02-03定稿

*国家自然科学基金资助项目（50975191）

佘银柱（1971-），男，山西晋中人，副教授，博士，研究方向：齿轮精密加工及功率超声加工。†

E-mail：email.zhu@163.com