双圆弧谐波齿轮设计及性能仿真

袁安富，林 森，仲霞莉

（1.南京信息工程大学 信息与控制学院，南京 210044；2.江苏省气象能源利用与控制工程技术研究中心，南京 210044）

0 引言

针对目前国内制造业自动化转型，我国将成为全球工业机器人最大的市场。作为机器人的核心传动部件，谐波减速器将担当着举足轻重的地位。采用渐开线齿形谐波齿轮，柔轮和刚轮只是近似共轭[1]，大多数齿均为边缘啮合或尖点啮合，这种啮合受力不均匀，轮齿容易磨损，而且载荷过大时容易造成齿与齿之间的干涉。而圆弧齿廓同时啮合的齿数更多，运动精度更高，柔轮的疲劳强度也得到很大提高。

1 谐波减速机结构形式[2]

谐波减速机中柔轮的结构一般分为圆柱型和钟形，本文主要分析圆柱形柔轮，轴连方式为凸缘外向的螺钉连接。波发生器结构众多，本文采用标准椭圆凸轮波发生器，这种波发生器可以使柔轮与刚轮的啮合达到理想状态，运转平稳，精度高，效率也较高。椭圆凸轮波发生器装入柔轮后，柔轮变形如图1所示，1表示柔轮变形前，2表示柔轮变形后。谐波减速器基本结构为：波发生器作为输入部件，刚轮作为固定部件，柔轮作为输出部件。

图1 柔轮变形图

图1中w为柔轮的径向位移，w0为柔轮长轴处的最大变形量，rm是柔轮变形之前的半径，ρr是原始曲线的极半径。

2 柔轮齿形设计及基本方程的建立[3～5]

2.1 柔轮齿形设计

根据圆弧齿轮的设计经验,对于精滚调质的软齿面圆弧齿轮,一般取全齿高h为2m～2.25m，其中m是模数。为了避免柔轮与刚轮轮齿之间的干涉，需要留有一定的顶隙，因此双圆弧齿廓谐波齿轮传动柔轮基准齿形齿高h可初步定为1.8m～2.12m, 柔轮齿顶高ha可以取为0.7m～1.0m,齿根高hf为1.1m～1.5m,取齿顶间隙Wa为0.2m～0.35m。齿形角取为25°。双圆弧谐波齿轮柔轮基本齿廓设计如图2所示。

图2 柔轮基本齿廓

2.2 柔轮齿廓方程的建立

根据图3所示，首先建立轮齿坐标系，以柔轮轮齿的的对称线为坐标xoy的y轴，以柔轮的中性线为该坐标的x轴，以齿廓的右边为例。

柔轮凸齿廓的圆心移距量X1为：

凸齿廓的圆心偏移量L1为：

柔轮右侧凸齿廓的极坐标方程为：

其中，t为柔轮的壁厚，β1为凸齿廓的压力角，（XO1，YO1）为凸齿廓的圆心坐标。

柔轮右侧凹齿廓极坐标方程为：

式中，X2和L2分别为柔轮凹齿的圆心移距量和偏移量，为凹齿廓的压角，为凹齿廓的圆心坐标。

3 根据包络法求解刚轮理论啮合方程

3.1 建立坐标系

设一个固定坐标系（OXY）与波发生器相固连，Y轴与波发生器的长轴重合，原点O定于波发生器的圆心上，两个动坐标系（O1X1Y1）和（O2X2Y2）分别与柔轮和刚轮相固连，Y1轴与柔轮轮齿的对称轴相重合，O1位于柔轮的中线上。Y2与刚轮齿槽的对称轴线重合，O2位于刚轮的回转中心上。各个坐标系之间的关系如图3所示。

图3 包络法求共轭齿形时各坐标关系图

图中，θ1为柔轮特征曲线对应弧的转角，θ2为刚轮特征曲线对应弧的转角，λ为刚轮与柔轮对应弧中心角之差。μ为柔轮对称轴线相对于径失转过的角度，Ф为刚轮和柔轮两个坐标系的夹角。

3.2 各参数之间的关系

如图4所示，原始特征曲线的极坐标方程为：

式中，θ为柔轮非变形端的转角。

使用包络法求解刚轮齿形时其他各关系表达式为：

3.3 刚轮齿廓方程的建立

使用包络理论求解与柔轮共轭的刚轮齿廓基本方程为：

将柔轮凸齿廓AB段的方程(3)代入到式(11)中即可求得与其共轭的刚轮齿廓方程为：将柔轮凹齿廓CD段方程(6)代入到式(3.4)中即可求得与其共轭的刚轮齿廓方程为：

其中各偏导数分别为：

公式中的c代表cos、s代表sin。

4 实例分析

以传动比i=80的的谐波齿轮为例，采用双波传动，柔轮齿数Z1=160，刚轮齿数Z2=162，模数m=0.5，柔轮变形系w*=0.9，柔轮轮齿处壁厚为1m，光滑处壁厚为0.8m，柔轮凸齿廓的圆心移距量X1=0.19m、偏移量L1=0.71m，圆弧半径R1=1.09m，柔轮凹齿廓的圆心移距量X2=0.26m、偏移量L1=1.54m，圆弧半径X2=1.2m，波高为0.5，通过计算得出柔轮的齿顶圆为Φ81，齿根圆为Φ78.9，刚轮的齿顶圆为Φ80，齿根圆为Φ82.1。

使用三维软件UG，分别对柔轮、刚轮以及波发生器进行建模，添加装配约束，其具体装配图如图4所示，从图中我们可以看出，柔轮在波发生器的挤压作用下发生指定的变形，在长轴处，柔轮齿顶和刚轮齿顶处如设计一样，能够进入完全啮合状态，且有一定间隙，以防止轮齿间干涉，在短轴处，柔轮及刚轮轮齿能够完全脱开，互不干涉。与传统的渐开线齿形相比，双圆弧齿形啮合的齿对数更多。

图4 谐波齿轮装配图

5 对柔轮进行有限元分析[6,7]

5.1 有限元模型的建立

由于在谐波齿轮的设计过程中，我们已经使用三维软件对柔轮完成了建模，因此，将UG建立的柔轮模型以parasolid格式导出，再将此文件导入到ANSYS中。对柔轮材料参数进行设定：E=196GPa、泊松比μ=0.3。

5.2 网格划分

考虑到柔轮变形较大，所以选择solid185作为划分模型的基本单元，他能够用于模拟塑性、应力刚化、蠕变、大变形、大应变等场合。柔轮变形部位主要集中在轮齿处，所以对轮齿部位要划分的更精细一些，这样结果也就更准确，使用体分割的办法将轮齿和筒体进行分割，然后再分别对它们进行网格划分，划分后的模型如图5所示。

图5 柔轮网格划分模型

5.3 定义接触及添加约束

柔轮与波发生器的接触可以定义为刚—柔接触，接触方式为面—面接触，以柔轮的内壁为柔性面，以波发生器的外圈为刚性面。定义好接触对后，会自动生成TARGET170和CONTACT174两种接触单元。

由于所设计的减速器中，柔轮与箱体是螺栓连接，因此将柔轮底部的内缘定义为完全约束ALL DOF=0。

5.4 结果分析

柔轮的径向变形如图6所示，其最大变形量主要集中在长轴处，且对称分布，最大变形值为0.517m，接近设计时的理论波高0.5m。柔轮的整体变形如图7所示，由于在波发生器的短轴处，柔轮要向内收缩，所以也产生了一定的变形，而对于整个柔轮筒体，随着筒体远离轮齿，它的变形量也逐渐减小。

图6 径向位移

图7 整体位移

柔轮的应力云图如图8所示，其应力主要集中在长轴附近，且靠近与轮齿和光滑筒体的交界处，而柔轮的短轴处所受应力最小。将轮齿部位的应力云图进行放大后查看，如图9所示，发现应力主要集中在轮齿的齿根处，因此，柔轮的疲劳断裂将会首先从齿根处逐步向外延伸。

图8 应力云图

图9 局部放大图

6 结束语

本文通过三维软件UG对设计好的双圆弧谐波齿轮三大部件进行建模和装配，针对齿轮啮合顶隙、侧隙、啮合深度及啮合齿对数等多个方面，分析得出设计的合理性，并与渐开线齿形相比，双圆弧谐波齿轮同时啮合的齿数更多。

基于有限元分析软件ANSYS，对波发生器装入后的柔轮进行仿真分析，通过应力应变云图，得知柔轮的径向最大位移量与理论波高基本一致，其应力主要集中在波发生的长轴处及轮齿及光滑筒体的过渡处，在成功预测其危险断面的同时，为以后柔轮结构的优化设计提供一定理论依据。

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