倒锥形复合变幅杆的动力学分析

张明，衣春杰，赵方晓，毛蜀平

（青岛科技大学机电工程学院，山东青岛266061）

倒锥形复合变幅杆的动力学分析

张明，衣春杰，赵方晓，毛蜀平

（青岛科技大学机电工程学院，山东青岛266061）

基于传统圆截面变幅杆的设计理论，利用波的纵振动方程求解倒锥形复合变幅杆的谐振频率、节点位置和放大系数等性能参数。利用WORKBENCH软件的模拟仿真功能，建立倒锥形复合变幅杆的有限元模型，对变幅杆进行包括模态和谐响应在内的动力学分析。通过分析变幅杆对称面上的等效应力云图，获得变幅杆在工作状态下应力集中的位置，为变幅杆的工艺优化提供可靠的指导，同时也为形状复杂的变截面复合变幅杆的设计和分析提供了新的方法。

倒锥形变幅杆；有限元；WORKBENCH；应力

随着超声波理论的完善和超声技术的发展，超声振动的应用越来越广泛，常常被用于超声车削、超声滚压、超声清洗等加工领域［1］。超声振动系统一般由超声发生装置、能量转换装置及超声变幅聚能装置组成。变幅杆是常见的超声变幅聚能部件，其作用之一是改变超声振动的位移振幅；作用之二是聚焦超声能量［2］。根据需求的不同，变幅杆可分为单一型和复合型。对单一型变幅杆的理论研究已日趋成熟，但由于单一型变幅杆受到放大系数小等因素的制约，往往无法满足实际工况的需要。因此，加强对复合型变幅杆的研究具有重要意义。

倒锥形复合变幅杆的基本结构为圆锥窄端接圆柱杆，倒锥形结构在实际应用中可提高辐射能量、增大辐射面域，用以改善换能器与辐射介质间的阻抗匹配［3］。本文利用理论推导和有限元分析相结合的方法对倒锥形变幅杆进行分析，得出其位移分布、频率方程、位移节点和放大系数，并利用WORKBENCH模拟仿真，对其进行模态和谐响应分析。由于倒锥形变幅杆有突变截面，应力集中较显著，故本文还通过研究等效应力云图对其进行应力分析，为优化变幅杆工艺结构提供有利依据。

1 变幅杆纵振动的理论分析

假设组成复合变幅杆的材料是均匀、各向同性的，且不考虑机械损耗和阻尼振动，超声波在杆中沿轴向传播，在一维条件下，变幅杆满足波动方程：

式中：ξ=ξ（x）为质点位移函数；k=ω/c，ω为圆频率，c为纵波在细棒中的传播速度，为截面面积。

图1 倒锥形变幅杆示意图

模型是由四分之一波长的圆柱杆和圆锥体组成的半波共振倒锥形变幅杆（图1）。这里通过式（1）分别讨论两段杆的位移分布函数。

对于第一段杆，S（x）=S1，鄣S/鄣x=0，代入式（1）可得微分方程：

此方程的通解为：

对于第二段杆，圆锥截面变化规律为：

式中：S2为变幅杆圆锥段的小端截面面积；N为面积系数，，D2、D3分别为变幅杆圆锥段的两端截面直径（图1）。代入式（1）可得微分方程：

由已知条件和边界条件易求出以下位移分布函数：

对于半波长阶梯型变幅杆而言，位移节点位于截面突变处，即对应于图1所示X=0的位置。要满足共振，首先需保证第一段圆柱杆在右截面的质点位移函数ξ1（x）=0，即：

求得kl1=π/2。同时，圆锥段应满足：

综合以上条件，可得复合变幅杆的共振方程［4］：

令式（4）中ξ1（x）=0，结合共振条件kl1=π/2，得到位移节点x0应在坐标X=0处。由式（7）并结合共振条件得到放大系数：

2 变幅杆的有限元分析

WORKBENCH是有限元分析软件ANSYS的一个重要分支，简洁的人机交流界面和可靠的数据分析是其仿真的主要特色。对变幅杆进行有限元分析时，不必考虑理想化假设，便可模拟得到满足初始条件的解。

2.1 模态分析

利用所求的共振方程初步设计出变幅杆的尺寸，在SolidWorks软件中建立倒锥形变幅杆的三维模型，再通过接口导入WORKBENCH中进行有限元分析。通过WORKBENCH中的模态分析和谐响应分析，对比验证理论推导出的各参数的可靠性，为复合变幅杆的设计提供依据。在WORKBENCH工程数据处理器中定义材料属性，数据见表1。

表1 变幅杆的参数值

由于倒锥形变幅杆是由2个简单的规则体组成，因此采用多区域网格划分［5］是合理的，局部区域采用六面体主导的方式，使误差尽可能减少，结果更易收敛。划分网格建立的有限元模型见图2。

加载求解前，先定义求解类型为模态分析，提取自由振型，频率搜索区间为10～25 kHz。模态计算结果见图3，共包含六阶模态，可看出，倒锥形变幅杆的谐振频率f′=19 589 Hz。

图2 变幅杆有限元模型

图3 频率搜索结果

图4是频率为19 589 Hz的振型图。可看出，变幅杆在谐振状态下，圆锥大端面的振动位移达到最大值，此时向外界辐射的能量也达到最大状态，而在过渡截面处的振幅最小。

图4 频率为19 589 Hz时的振型图

2.2 谐响应分析

谐响应分析的载荷是随时间正弦变化的简谐载荷，该类型的载荷可用频率和幅值来描述［6］。只有当外部施加的激励与变幅杆固有频率相接近时，才会产生共振，所以这里的频率需选取模态分析中的谐振频率。WORKBENCH中的分析模块应选择谐响应分析，施加一个沿轴向的5μm振幅作为初始位移，并通过在软件各参数模块中进行设置，可使变幅杆产生一个沿轴向随正弦变化的周期载荷。计算结果取谐振频率为19 589 Hz。

谐响应分析采用Full法［7］，它采用完整的系统矩阵计算谐响应，且不必关心如何选取自由度或振型，并允许在实体模型上定义载荷。利用WORKBENCH中的路径读取功能，沿着变幅杆轴向建立路径，其长度设为变幅杆总长度，生成的变幅杆轴向位移分布曲线见图5。其中，横坐标数值为变幅杆长度，等分为48份；纵坐标为变幅杆轴向振动位移，正值代表振动时变幅杆轴向伸长位移量，负值代表其轴向压缩位移量。

图5 轴向位移分布曲线

从位移分布曲线中可得到位移节点和放大系数。其中，零位移水平直线同曲线的交点是位移节点的位置，位移最大值与最小值之比为放大系数。

表2是理论计算值和模拟值的比较。其中，f、X0、Mp分别为理论计算得到的谐振频率、位移节点和放大系数；f′、X0′、Mp′分别为模拟值。从表2可看出，模拟值和理论计算值相差很少，说明通过WORKBENCH有限元分析进行数值模拟是可靠的。

表2 理论计算值与模拟值的比较

2.3 等效应力分析

理论值和模拟值之间不可避免地出现一定的误差，结构的应力集中是其重要的影响因素。平面纵波只沿轴向传播只是一种理想状态，变幅杆由于截面突变产生的应力集中会影响结果的准确性。从变幅杆Von-mises等效应力云图可看出，最大应力存在于过渡面处，对应谐振频率19 589 Hz的截面最大应力为70.3MPa（图6a）。根据变幅杆现有尺寸查阶梯型变幅杆的最佳过渡圆弧半径［8］，并进行优化处理；同时，对过渡圆角处的网格进行适当的细化，重新模拟等效应力云图（图6b）。可看出，过渡面处的整体应力下降很多，最大应力为57.3 MPa，比之前降低约18.5%；模拟谐振频率变为19 952 Hz，提高约1.9%，比优化前更接近理想值。

图6 变幅杆优化前后等效应力图

3 结论

本文针对倒锥形复合变幅杆做了理论推导和模拟两方面的研究，对变幅杆进行了动力学分析，通过WORKBENCH有限元模拟得到轴向位移分布曲线，进而求出变幅杆的谐振频率、节点位置及放大系数。通过数据比较可知，有限元模拟得到的数据同理论值间的误差很小，充分说明了有限元法在复合变幅杆设计中是准确、可靠的。此外，通过对变幅杆的局部结构进行改进，进一步优化变幅杆的各段尺寸，从而使理论值更接近于模拟值。通过等效应力云图可得到变幅杆在工况下的应力分布情况，应力最大值位于截面突变处。经过对突变截面进行结构和工艺优化后发现，应力集中大幅减小，且谐振频率更接近于工作频率。有限元分析不仅能为变幅杆结构优化提供指导，而且在一定程度上还能代替实验，节省成本。

［1］曹凤国，张勤俭.超声加工技术的研究现状及其发展趋势［J］.电加工与模具，2005（S1）：25-31.

［2］温平方，顾晓波，吴晓峰.圆锥过渡段阶梯形复合变幅杆的模态分析及优化设计［J］.现代制造工程，2008（11）：111-113.

［3］曾凡凡，王时英，吕明.阶梯型变幅杆圆弧过渡动力学分析［J］.机械设计与制造，2012（10）：210-212.

［4］曹凤国.超声加工［M］.北京：化学工业出版社，2014.

［5］Yadava V，Deoghare A.Design of horn for rotary ultrasonic machining using the finite elementmethod［J］.The International Journal of Advanced Manufacturing Technology，2008，39（1-2）：9-20.

［6］丁欣硕，凌桂龙.AnsysWorkbench 14.5有限元分析案例详解［M］.北京：清华大学出版社，2014.

［7］张建伟，白海波，李昕.ANSYS14.0超级学习手册［M］.北京：人民邮电出版社，2013.

［8］贺西平，高洁.超声变幅杆设计方法研究［J］.声学技术，2006，25（1）：82-86.

Dynam ic Analysis of Inverted Conical Com posite Horn

Zhang Ming，YiChunjie，Zhao Fangxiao，Mao Shuping
（College of Electromechanical Engineering，Qingdao University of Science and Technology，Qingdao 266061，China）

Based on the design theory of the traditional circular section horn，performance parameters including the resonant frequency，node position and amplification factor of the inverted conical horn can be solved using the longitudinal vibration equation of the sonic.Finite element analysis software WORKBENCH was used to establish the composite horn finite elementmodel，and its dynamics including modal analysis and harmonic response analysis were analyzed.By analyzing the equivalent stress cloud of the horn on the symmetry plane，the position of stress concentration in its working condition was obtained，so reliable guidance for the process optimization of the horn was provided.And the new design and analysis methods for the complex shape of variable cross-section horn were provided.

inverted conical horn；finite element；WORKBENCH；stress

TG663

A

1009－279X（2015）05－0054-04

2015-06-26

张明，男，1960年生，教授。