数学视野下的3D打印课程设计

陈扬帆

课程设计与课程定位

本课程是浙江省温州中学面向高一年级开设的一门理论与实践并重的知识拓展类课程。课程以3D建模为落脚点，主要介绍如何在3D建模软件（OpenSCAD）中创建3D模型，以数学方法描述物体和它们之间的空间关系，用数学函数、数学运算符号与计算机语言，创建立体三维模型，并用数学中的相关知识去解释、分析模型的形成和结构特点，使学生在获得知识的同时，提高综合处理问题的能力，培养学生的创新意识和创新能力。

与传统数学教学稍显不同的是，本课程旨在铺设一个3D建模的平台让学生明白数学有什么用，如何用数学方法解决问题，即培养学生如何从数学视角来观察身边的世界。

课程目标：培养学生掌握常用SCAD语言以及辅助工具的使用；能绘制中等复杂程度的3D模型；了解运用数学思想进行3D建模的一般过程，掌握几种常用函数模型，并能够利用模型做简单的运用；提高学生推理论证、运算求解、数据处理、语言组织、语言表达等基本能力；提高其科学地提出、分析和解决问题的能力。发展数学应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考并做出判断。

本课程以学生上机操作的方式，分为“初识3D打印”“3D数学博物馆”“SCAD基本操作”“SCAD基础立体模型”“SCAD基本语言”“SCAD综合应用”“认识Google SketchUp”七个专题共18个课时。

课程开展形式以小组为单位，3～4人一组，完成平时作业及期末作品。

本课程的结课作业为“你眼中的温州中学”。具体如下：

①小组为单位，讨论决定最终的目标模型（可以是温州中学的某个建筑，如英语角、行政楼；也可以是某个装饰物；或者自行设计一个校园建筑物）；

②带上工具（纸、笔、相机等）在校园中记录下必要的数据（如建筑的比例等），画出平面图、三视图；

③分工合作，用OpenSCAD或SketchUp做出模型，并用3D打印机打印出成品。

课程特色

1.数学的应用性与科技新技术（3D打印）巧妙结合

本课程以3D打印为背景，以3D建模为落脚点，用数学方法描述物体和它们之间的空间关系，用数学函数、数学运算符号与计算机语言创建三维立体模型。

例如，在第二章“3D数学博物馆”第一节“谁让数学‘活了”中，运用3D打印技术将一些有趣的数学模型具体化，如分形几何体（如图1）、莫比乌斯环（如图2），让学生了解拓扑领域，走近数学，让原本枯燥的数学学习变得生动有趣。

2.数学建模的初体验

数学的重要应用便是建模，本课程就是以培养学生建模能力为目标之一的课程。从第二章开始，介绍如何从二维平面建模拓展到三维空间模型的建立，引入空间直角坐标系，学会运用坐标系在3D空间中精确度量位置、距离和角度。

第四章从四个基本几何模型（球体、长方体、圆柱体、多面体）的建立开始，掌握决定模型形状的几个参数。第五章中镜面对称（mirror）语句的运用，需要学生有较强的空间想象能力。

第六章中介绍几个集合运算（交、并、补），如图3中两个模型的交集便是图4所示的形状，这是高中数学必修一“集合”一章的最恰到好处的直观感受和实际应用。

在第六章“常见的数学案例”中，鼓励学生将高中阶段所学习的几个常见的函数用OpenSCAD进行描述、建模。

3.探究学习与自主学习为主体

本课程教学地点在微机房，每节课每位学生都能自己操作尝试，以小组为单位，教师以引导、释疑为主，侧重探究性学习和讨论学习，引导学生自主思考，创新设计。

4.教与学的开放性与发展性

每节课都有一个开放性的作业，学生在上机操作、小组讨论、完成作业的过程中往往能够探究出超出本节课教学目标的知识，而教师也可以通过课堂上学生的发言、检查学生作业的过程发现问题，并进一步完善本课程的教学。

案例——构建一个亭子

本节课选择了一个切入点——旋转挤压（rotate_extrude），通过一个实例“构建一个亭子”，运用问题链层层深入，启发学生明确空间体形成的一个过程规律。

本节课旨在培养学生对立体几何体从二维到三维形成过程的理解，提高学生的空间想象能力，并挖掘学生的创造力，提高学生对数学的学习热情。

在课堂开始，带领学生回顾之前所学的几类基本语言，包括基本模型（方体、球体、圆锥体、多面体等）、基本动作语言（位移、旋转、对称等）以及两类基本运算（求交和求差），在此前的学习基础上，启发学生能否用已有的知识建立一个具体的模型——亭子（如图7）。

课堂活动以小组讨论为主，之后小组代表上台阐述本小组对于亭子的建构的设计方案以及过程中可能会遇到的一些技术问题，得到的结论是：若想使模型建构得更加精致，语言更加简洁，我们还需要学习新的语言，从而引入“旋转挤压”。

在介绍“旋转挤压”的语法及原理后，以圆锥体的形成为例，教师现场操作如何把直角三角形绕其直角边旋转一周得到圆锥体，让学生对此语言有一个直观和清晰的认识。

接下来，给出学生三个问题。问题一：如何构建一个圆柱体——引导学生发现多边形中“点”的设定是有一定顺序的；问题二：如何做一个内空的顶盖——强调平面图形在形成三维图形中的重要性；问题三：如何做一个复杂的多边形顶盖——强化学生训练“旋转挤压”语言，以便熟练操作。这三个问题，逐步给出，每一个问题均由学生自己探索后上台演示。

最后环节，让学生以小组为单位，建立一个亭子的模型，并给予展示。

整节课用几何体的变换，从点到线，进而到面的变形，让学生充分发现空间几何体内在的联系，提高学生的空间变换能力，将3D课程与数学学科特色相结合，以3D打印为立足点，真正将数学“学”在生活，“用”在生活。