互耦效应下一种基于实值稀疏表示的波达方向估计算法

2015-11-11 07:17吴振戴继生朱湘临赵德安
兵工学报 2015年2期
关键词:复杂度矩阵文献

吴振,戴继生,2,朱湘临,赵德安

(1.江苏大学电气信息工程学院,江苏镇江212013;2.东南大学移动通信国家重点实验室,江苏南京210096)

互耦效应下一种基于实值稀疏表示的波达方向估计算法

吴振1,戴继生1,2,朱湘临1,赵德安1

(1.江苏大学电气信息工程学院,江苏镇江212013;2.东南大学移动通信国家重点实验室,江苏南京210096)

针对未知互耦条件下的波达方向(DOA)估计问题,提出了一种未知互耦条件下基于实值稀疏表示的加权子空间DOA估计算法。新算法利用一个特定的酉变换矩阵,将一个复杂的复值优化问题转化为一个实值优化问题,从而有效地将原问题的计算复杂度减少4倍以上。此外,为了进一步提高稀疏表示的估计算法估计精度,在原有l1范数优化模型基础上引入一个能使得DOA估计方差取得最小值的最优子空间加权矩阵。仿真实验表明,在低信噪比情况下,新算法能进一步提高稀疏表示的估计算法抗噪能力,获得更好的估计精度。

信息处理技术;波达方向估计;稀疏表示;互耦;均匀线阵

0 引言

波达方向(DOA)估计作为阵列信号处理的一个重要分支,已广泛应用于雷达、声纳、通信、地震勘探、射电天文以及生物医学工程等多个领域[1-3]。基于子空间的DOA估计算法(MUSIC、ESPRIT、root-MUSIC,WSF等)在较高信噪比、较多快拍数的条件下具有较好的估计性能,但在非理想(比如低信噪比、少量快拍数)情况下,此类算法性能将损失严重。稀疏表示作为一种新颖的数据处理方法,近年来得到了国内外学者的极大关注。基于稀疏表示的DOA估计算法与其他估计算法相比,具有所需快拍数小、在低信噪比下具有良好的抗噪性、适用相干信号等优点[4-5]。

稀疏表示估计算法也存在一些不足:与大多数子空间估计算法一样,其估计性能很大程度上取决于阵列流型是否精确已知。在实际的工程应用中,不可避免地要面临多种流型误差的影响(如阵元幅相误差、阵元位置误差、阵元间互耦效应等),这些误差将使得未经校准处理的DOA估计算法的性能严重恶化,甚至失效[6-10]。为对抗阵元间的互耦效应,Dai等提出了一种未知互耦条件下的稀疏表示的DOA估计算法[6]。该算法能够消除未知互耦因素带来的不利影响,提高DOA估计的性能。然而该算法需要求解一个复数域上的关于l1范数的优化问题,其计算复杂量较高。

注意到一次复数乘法运算需要4次实数乘法运算和两次实数加法运算,因此,复数实值化将带来计算复杂度上的巨大优势。受此启发,本文拟提出一种未知互耦条件下基于实值稀疏表示的加权子空间(WSF)DOA估计算法。与文献[6]所提算法相对比,新算法的创新之处在于:1)采用了实值变换矩阵,有效地将计算复杂度减少4倍以上;2)在目标函数中引入了一个最优子空间加权矩阵,有助于进一步减小DOA估计的方差。因此,新算法是文献[6]所提算法的一个重要推广,其既有助于提高DOA估计性能,又能有效地降低算法计算复杂度。

1 信号模型

考虑K个波达方向为θ1,θ2,…,θK的窄带互不相关信号sk(t)(k=1,2,…,K)从远场入射到由M个阵元组成的均匀线阵(ULA)上,其中信号波长为λ.若假设相邻阵元间距为d,则未知互耦条件下阵列的输出信号r(t)为

式中:r(t)=[r1(t),r2(t),…,rM(t)]T;s(t)=[s1(t),s2(t),…,sK(t)]T;n(t)=[n1(t),n2(t),…,nM(t)]T;A=[α(θ1),α(θ2),…,α(θK)];α(θk)=[1,ejφ(θk),…,ej(M-1)φ(θk)]T,φ(θk)=(-2πd/λ)·sin(θk).n(t)是一个零均值方差为的广义高斯随机过程。矩阵C为ULA所对应的互耦矩阵,其互耦系数与阵元间距呈反比:足够远的两阵元间互耦系数近似为0,且间距相同的两阵元间互耦系数相同。因此,ULA的互耦矩阵可以用一个带状的对称Toepliz矩阵来描述。若模型只考虑m个阵元之间的相互作用,则互耦矩阵C[7-12]可表示为

式中:Toepliz(c)表示由矢量c构成的对称Toepliz矩阵,c为2M-1维矢量,且有

2 稀疏表示的DOA估计算法简介

为了便于分析,简要介绍一下无互耦效应下的稀疏表示的DOA估计算法(详见文献[4])。此时,(1)式为

3 未知互耦条件下实值稀疏表示的DOA估计算法

由第2节叙述可知,文献[4]所提算法没有考虑互耦效应带来的不利影响。本节将提出一种未知互耦条件下基于实值稀疏表示的加权子空间DOA估计算法。与(5)式类似,未知互耦条件下,(1)式可表示为

由于C为未知矩阵,所以(10)式不能直接转换成稀疏表示的形式。为了去除互耦对阵列输出信号带来的不利影响,并将(10)式实值化,引入一个常数矩阵F≜[0(M-2m)×mIM-2m0(M-2m)×m]和一个酉变换矩阵QM:当M为偶数时,

当M为奇数时,

式中:I为单位矩阵;J为交换矩阵(反对角线元素全为1,其他元素为0的矩阵),下标表示矩阵维数。(10)式两边同时左乘F和QM-2m,得[12]

(13)式中QM-2mFR,和QM-2mFN同为复矩阵。为了进一步对其实值化,将(13)式改写成实部和虚部之和的形式,即

根据实部和虚部分别相等的必要条件,有

若将(15)式写成矩阵形式,得

根据(7)式,可类似地处理(16)式,但为了在低信噪比情况下,进一步提高稀疏表示的估计算法抗噪能力,获得更好的估计精度,不再简单地用同时右乘(16)式的两边,而是根据加权子空间理论,采用一个子空间实值加权矩阵W:

由文献[13]的定理3可知:对于任意的加权矩阵W,有

本文所提算法所涉及的l1范数优化问题(23)式与文献[6]的优化问题具有相同的结构,主要区别在于:1)优化问题(23)式中所有已知变量和需优化的变量均为实值;2)引入了一个子空间实值加权矩阵,使得DOA估计的方差能取得最小值。由于一次复数乘法运算需要4次实数乘法运算和两次实数加法运算,因此,复变量实值化将带来计算复杂度上的巨大优势:直接求解优化问题(23)式所需的计算复杂度仅为求解文献[6]优化问题计算复杂度的1/4.详细的讨论可参见文献[12,14-15],这里不在赘述。

4 仿真结果及实验分析

本节中将新算法与文献[6,8]所提的算法进行比较,从而验证新算法的有效性。在第1个仿真实验中,假设K=2个不相关信号(θ1=-19.7°,θ2= 10.1°)入射到阵元数为M=10的ULA上,阵元间距为半波长,仅考虑相邻阵元间存在互耦效应,且互耦系数为0.384 4-0.347 6i,噪声为零均值的高斯白噪声。每次实验均进行200次蒙特卡罗实验,采用均方根误差(RMSE)作为DOA估计算法性能的衡量指标,其定义为

图1 不同DOA估计算法的RMSE随着SNR变化的性能曲线Fig.1 RMSE of DOA estimate against SNR among different strategies

为了验证快拍数对算法性能产生的影响,在第2个仿真实验中,在低信噪比情况下进行了RMSE随快拍数变化的仿真实验。除了将SNR设置为一个固定值(-10 dB),其他实验条件与仿真实验1相同。图2描述了不同DOA估计算法的RMSE随着快拍数变化的性能曲线。从图2可以看出,本文算法性能明显优于其他算法,而且随着快拍数的增加,所提算法的DOA估计RMSE逐渐减小,即估计精度逐渐增高。

图2 不同DOA估计算法的RMSE随着快拍数变化的性能曲线Fig.2 RMSE of DOA estimate against snapshots among different strategies

在第3个仿真实验中,将验证较少快拍数情况下算法的角度辨别性能。设为第k个信号的角度估计值,若,则称算法能分辨出相邻的DOA.该仿真实验假设有两个相邻的不相关信号(θ1=-2.5°,θ2=3.5°)入射到阵元数为M=12的均匀线阵上,阵元间距为半波长,快拍数为50,阵元间互耦系数设为c=[1,0.4+0.3i,0.1-0.2i].图3描述了不同DOA估计算法的分辨率随着SNR变化的性能曲线。由图3可以看出,本文所提算法具有较高的角度分辨率。

图3 不同DOA估计算法的分辨率随着SNR变化的性能曲线Fig.3 Resolution probability of DOA estimate against SNR among different strategies

5 结论

针对未知互耦条件下DOA估计算法运算复杂度较高的问题,本文提出一种未知互耦条件下基于实值稀疏表示的加权子空间DOA估计算法,该算法利用特定的酉变换矩阵,将一个复杂的复值优化问题转化成实值优化问题,从而有效地降低了计算复杂度。此外,根据加权子空间理论,引入了一个子空间实值加权矩阵,进一步提高了稀疏表示的估计算法估计精度。本文算法是文献[6]所提算法的一个重要推广。理论分析和仿真实验都验证了本文所提算法的有效性。

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A Real-valued Sparse Representation Method for DOA Estimation with Unknown Mutual Coupling

WU Zhen1,DAI Ji-sheng1,2,ZHU Xiang-lin1,ZHAO De-an1
(1.School of Electrical and Information Engineering,Jiangsu University,Zhenjiang 212013,Jiangsu,China;2.National Mobile Communications Research Laboratory,Southeast University,Nanjing 210096,Jiangsu,China)

The paper presents a real-valued sparse representation method for DOA estimation in the presence of unknown mutual coupling.Utilizing a certain unitary transformation and taking advantage of the special structure of mutual coupling matrix(MCM)for uniform linear arrays(ULAs),we are able to convert complex-valued manifold matrices of ULAs with unknown mutual coupling into real ones.Due to this transformation,the computational complexity can be decreased by a factor of at least four.Moreover,the proposed method is expected to have a better noise suppression,as it exploits an additional optimal weighting matrix.Thus,the proposed method outperforms the original one,especially when signal-tonoise ratio(SNR)is low.Simulation results verify the efficiency of the proposed method.

information processing technology;direction of arrival estimation;sparse representation;mutual coupling;uniform linear array

TN911.7

A

1000-1093(2015)02-0294-05

10.3969/j.issn.1000-1093.2015.02.015

2013-09-27

国家自然科学基金项目(61102054);东南大学移动通信国家重点实验室开放研究基金项目(2013D08)

吴振(1990—),男,硕士研究生。E-mail:zhenwu.ujs@gmail.com;戴继生(1982—),男,副教授,硕士生导师。E-mail:jsdai@ujs.edu.cn

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