耦合谐振式无线电能传输系统的线圈优化

肖思宇 马殿光 张汉花 姚 辰 唐厚君

（上海交通大学电气工程系 上海 200240）

1 引言

磁耦合谐振式（Coupled Magnetic Resonance,CMR）技术是 2006年在美国物理学工业物理论坛上被第一次提出的，随后通过理论分析证实了该种无线电能传输方式的可行性。2007年美国 MIT的物理研究小组以“耦合模理论”为理论依据，通过实验验证了具有相同谐振频率的两个谐振体可以通过磁耦合形式实现电能的无线传输，并可以获得较高的传输效率[1]。

CMR技术采用谐振线圈间磁场的耦合，通过发射线圈和接收线圈的共振来实现能量的无线传输。当发射线圈和接收线圈达到谐振状态时，系统可经由损耗最低的路径将电能从供电端传输到受电端，最大程度地确保能量传输的效率。根据近区磁场的特点，在近区场内具有相同谐振频率的振荡体会发生波耦合，实现能量在两个谐振体之间的传输。由于谐振体的共振波长远远大于振荡器尺寸，能量传输几乎不受附近物体的影响，能量在传输过程中损失很小，也不会对周围环境产生影响，因此 CMR技术是一种高效、可靠的无线电能传输方式。

但是，由于磁耦合谐振式无线电能传输系统在设计时存在理论偏差和实际损耗，其传输效率会随着传输距离的增大而急剧减小，因此进一步研究磁耦合谐振式传输系统的传输特性对于如何提升供电端与受电端的耦合程度、设计最优的线圈结构以提高传输效率有着重要的理论意义和实用价值。

本文针对耦合谐振式无线电能传输系统进行了研究与设计。采用耦合模理论对系统建模，利用COMSOL软件对磁耦合谐振式系统的线圈结构进行仿真，研究了线圈结构参数对系统传输效率的影响，并提出了在固定线圈距离时线圈参数优化的方案。

2 系统数学模型

2.1 耦合模公式的推导

将单个谐振线圈等效为一个 LC串联回路，如图1所示。

图1 谐振线圈等效电路Fig.1 Equivalent circuit of the resonance coil

由欧姆定律可得电压电流表达式：

将一阶微分方程式（1）与式（2）互相代入，可得关于电压和电流的二阶微分方程：

式中，i为谐振电路电流；v为电感的端电压；ω0=为谐振角频率。

在考虑系统损耗的情况下，引入系统损耗后有[2]

式中，Γ为损耗系数。

可得耗散功率W的表达式：

2.2 两谐振体系统耦合模型

假设耦合谐振式无线电能传输中，两个谐振体的谐振频率分别为ω1和ω2，则在不计损耗的情况下该系统的耦合模型可用下述方程组表示[2]

式中，κ12和κ21为线圈1与线圈2之间的耦合系数，当ω1且ω2时系统为弱耦合，此时相比而言较小，仅当ω1与ω2接近时耦合才会影响a1、a2的变化（ a1、a2的含义与式（6）中类似）。

在系统能量守恒时，κ12和κ21存在相互约束的关系。由于系统能量变化率为零，故有

式中，a*为a的共轭；κ∗为κ的共轭；Re()为实部运算符；Im()为虚部运算符。

由于 a1和 a2的实部和虚部为非特定值，故耦合系数满足表达式：

假设谐振体2初始没有能量，则根据式（8），从谐振体1耦合到谐振体2的平均功率表达式为

又当互感系数为M时，从谐振体1耦合到谐振体2的谐振功率在一个周期内的平均值可表示为

比较式（10）和式（11），可得耦合系数的表达式为

现考虑一般情况，即有输入源、负载、异物扰动以及损耗的环境，由式（7）经过变换可得源端和负载端的耦合模型表达式为

式中，as、ad为发射端、负载端的模式幅值复变量；Γd [e]为考虑异物扰动下的接收线圈损耗率（包括辐

射损耗Γrad和吸收损耗Γabs），故有Γd[e]=+，类似有带扰动的源损耗率为Γs[e]；κsd[e]和κds[e]为考虑扰动因素时的发射/接收端耦合系数；us为电源对系统的影响；Γwork为负载损耗率；

定义有效功率传输效率：

3 系统仿真

3.1 线圈结构对系统传输效率的影响

（1）线圈绕制方式对耦合系数的影响

a）半径为R=30 mm的圆形线圈间的耦合系数

改变圆形线圈间每匝线圈的间距，得到线圈耦合因数的变化规律，如图2所示。圆形线圈达到的最大线圈耦合因数为0.195，此时对应的间距为18 cm。

b）相同面积下矩形线圈间的耦合因数（60 mm×60 mm）

改变矩形线圈每匝线圈的间距，线圈耦合系数的变化如图3所示。矩形线圈所达到的最大线圈耦合因数为0.194，此时对应的间距为23 cm。

图2 圆形线圈耦合系数随每匝线圈间距的变化Fig.2 Circular coil coupling coefficient changes with the spacing of each turn of the coil

图3 单矩形线圈耦合系数随每匝线圈间距的变化Fig.3 Single rectangular coil coupling coefficient changes with the spacing of each turn of the coil

c）相同面积情况下，双矩形线圈间的耦合因数在保持面积相同的条件下，将单个矩形线圈分为2个矩形线圈，如图4所示。此时线圈间的耦合因数最大为0.062。

图4 双矩形线圈耦合系数随每匝线圈间距变化Fig.4 Double rectangular coil coupling coefficient changes with the spacing of each turn of the coil

由此可知，相同面积情况下，圆形线圈与矩形线圈间的耦合强度相差不大，但将整体区域划分后再绕制线圈会急剧减小线圈间的耦合强度。此外矩形线圈在拐角处电流密度分布不均匀，会增大线圈的损耗参数。因此，采用圆形线圈可以提高线圈间的耦合强度，同时能够减小线圈损耗，是一种优化的线圈绕制方式。

（2）线圈排布宽度对耦合系数的影响

当收发线圈距离 D=40 mm，线圈半径为R=30 mm，线圈匝数为5时，逐渐改变同一平面内每匝线圈之间的间距，可得两线圈之间耦合因数的变化规律，如图5所示。

图5 圆形线圈耦合系数随线圈间距变化Fig.5 Circular coil coupling coefficient changes with the coil spacing

由图可见，当线圈距离和半径固定时，线圈间的耦合系数随每匝线圈间距的增大先增大后减小，即存在最优的线圈间距使得线圈间的耦合强度最大在本例中，当线圈各匝之间的间距为12 mm时，耦合强度最大。

（3）线圈半径对耦合系数的影响

由图6可知，线圈间的耦合系数随着半径的增大而增大。但线圈耦合强度随半径增大而增大的速率逐渐减缓，即半径对线圈耦合强度的影响越来越小。由图7可知，线圈半径越大，耦合系数随线圈距离变化越平缓，系统传输距离也越大。

图6 线圈耦合系数随线圈半径变化Fig.6 Coil coupling coefficient changes with the coil radius

图7 不同半径下线圈耦合系数随线圈距离变化Fig.7 Different radius coil coupling coefficient changes with the coil distance

3.2 距离固定时两线圈系统的效率优化方案

当传输距离固定为40 mm时，对系统进行线圈优化设计的步骤为：

（1）线圈半径的优化

图8 固定线圈匝数对线圈半径的优化Fig.8 Optimization of radius for fixed turns of the coil

图9 线圈半径固定时对线圈匝数的优化Fig.9 Optimization of turns for fixed turns of the coil

增大收发线圈半径，并匹配电路的谐振电容，使得线圈谐振频率固定为1 MHz，由上图可知，当线圈半径R=35 mm时，系统的传输效率最高，约为72%。

（2）线圈匝数的优化

固定线圈半径为35 mm，增加收发线圈的匝数，并匹配电路的谐振电容，使得线圈谐振频率固定为1 MHz，得到系统传输效率随线圈匝数变化的趋势如图9所示。由图可知，当线圈匝数为15时，系统传输效率最高。

（3）线圈匝间距的优化

固定线圈半径为R=35 mm，线圈匝数为15，改变每匝线圈间的间距，得到系统效率的变化趋势如图10所示。由图可知，每匝线圈间距的改变对系统传输效率的影响不是很明显，系统效率随线圈排布间距先增大后减小。当整体排布宽度为14 mm时，系统传输效率最大。

图10 固定线圈匝数、半径对线圈排布间距优化Fig.10 Optimization of coil arrangement pitch for fixed coil turns and radius

4 结论

本文在 COMSOL仿真平台下，详细研究了线圈参数（线圈绕制方式，线圈半径，每匝线圈的间距等）对系统传输效率的影响规律。主要结论如下：

（1）相同面积时，采用圆形线圈可以增大耦合系数，降低线圈自身损耗，从而提高系统传输效率。将线圈分开绕制会明显降低线圈间的耦合系数。

（2）系统传输效率随着线圈半径的增大会先增大后减小，存在最优化的线圈半径使得系统效率最大。当线圈半径和匝数固定时，改变每匝线圈间的间距也会影响系统的传输效率。随着每匝线圈间距的增大，传输效率先增大后减小。

（3）当线圈间的距离固定时，线圈参数的优化方案为：先优化线圈半径，再优化线圈匝数，最后优化线圈的匝间距。当传输距离为40 mm时，通过优化可以将系统效率由原来的35%提高到 72%左右。

[1] Kurs A,Karalis A,Moffatt R,et al.Wireless power transfer via strongly coupled magnetic resonances[J].Science,2007,317(5834):83-86.

[2] H.A.Haus.Waves and Fields in Optoelectronics[M].Prentice-Hall,New Jersey,1984:197-216.

[3] Karalis A,Joannopoulos J D,Soljačić M.Efficient wireless non-radiative mid-range energy transfer[J].Annals of Physics,2008,323(1):34-4.