SQP 优化的最大似然波达方向角估计

单泽涛，单泽彪，朱兰香，3，石要武

(1.诺博橡胶制品有限公司制造部，河北保定072550;2.吉林大学通信工程学院，长春130022; 3.长春建筑学院电气信息学院，长春130607)

SQP 优化的最大似然波达方向角估计

单泽涛1，单泽彪2，朱兰香2，3，石要武2

(1.诺博橡胶制品有限公司制造部，河北保定072550;2.吉林大学通信工程学院，长春130022; 3.长春建筑学院电气信息学院，长春130607)

为快速实现波达方向角(DOA:Direction Of Arrival)的精确估计，提出了应用序列二次规划(SQP: Sequence Quadratic Program)的最大似然DOA估计算法。给出了用于DOA估计的最大似然函数，将参数估计问题转化为非线性函数优化问题;并利用SQP优化算法对似然函数的求解进行优化，得到DOA的估计值。仿真结果表明，该算法可用较少的计算时间实现对似然函数的优化求解，同时保留了最大似然估计的渐进无偏估计性能，与遗传算法、粒子群算法相比，不仅具有更快的寻优速度，而且具有更高的收敛精度。

波达方向角估计;序列二次规划;最大似然估计;优化算法

0 引 言

近年来，空间信号波达方向角(DOA:Direction Of Arrival)估计在通信、雷达、声纳和地震勘探等领域获得了广泛应用和迅猛发展［1，2］。DOA估计的基本问题是确定处在某一区域内不同目标信号源的空间位置，即各个信号到达阵列参考阵元的 DOA。利用阵列天线对 DOA估计的方法主要有 ARMA (Auto-Regressive and Moving Average Model)谱分析法、熵谱分析法、基于特征分解的子空间算法和最大似然算法等［3］。其中最为经典的特征分解类算法是MUSIC(Multiple Signal Classification)算法及其改进算法［4，5］和 ESPRIT(Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques)算法及其改进算法［6，7］。这两类算法以较高的分辨能力和相对较低的计算量，引起了人们的广泛关注和重点研究。它们以一维搜索取代了具有最佳估计性能的最大似然方法中的多维搜索过程，从而大大降低了信号参数估计过程中的运算量。但是，它们为之付出的代价是估计精度的下降以及对相干信号表现出的无能为力。虽然利用空间平滑技术可实现上述两类算法的解相干处理，但空间平滑算法是以牺牲阵列有效孔径为代价，并且一般只适用于等间距均匀线阵。为解决实际中经常出现的相干源问题，并要求在小快拍、低信噪比条件下仍具有较高的估计精度。随着数学领域中最优化算法的发展，以最大似然方法为代表的多维搜索估计方法仍不失是一个比较具有发展前景的研究方向。最大似然估计是基于统计理论估计方法中的一种最优估计，与MUSIC算法、ESPRIT算法等子空间类算法相比，其估计性能要好得多，而且可以直接解相干。但是，最大似然方法需要非线性多维搜索实现，应用传统网格搜索方法计算量过大。针对此问题，笔者将SQP(Sequence Quadratic Program)方法应用于似然函数的优化求解中，极大地减少了最大似然方法的计算量，而且SQP方法具有局部超线性收敛特性，可加快寻优搜索的过程，提高算法的工程实时性。SQP是一种非常优秀的非线性优化算法［8］，自提出以来，显现出强大的求解能力。SQP方法是在已知梯度等相关信息情况下的确定性最优化算法，与遗传算法、粒子群算法等随机性优化算法相比，在DOA估计这一已知模型的参数估计问题中更具有一定优势。最后将应用SQP方法和采用遗传算法、粒子群算法分别进行优化的仿真实验对比，结果表明该算法不仅具有更快的寻优速度，而且还具有更高的收敛精度。

1 阵列信号数学模型

1.1 接收数据模型

假设有一个由M个阵元构成的线列阵，其阵元位置为(0，d1，…，dM-1)。同时假设具有相同载频的、各信源DOA分别为(θ1，θ2，…，θP)的远场窄带目标信号源的数量为P个，并且M＞P，则在t时刻第m个阵元的输出可表示为

其中sp(t)为投射到阵列上的第p个源信号;nm(t)表示该阵元上的量测噪声，假设为高斯白噪声;θp为第p个信号源的到达角度;λ为信号中心频率处的载频波长。a(θp)为θp的方向向量，其定义为

根据式(3)可得其采样协方差矩阵为

其中L为实际采样快拍数。

1．2 最大似然估计

如式(3)所示，噪声分量是均值为零、协方差为σ2I的各态遍历复高斯过程，其观测矢量L次快拍联合概率密度函数可表示为

对式(5)两边同时取负对数，得到对数似然函数

式(6)是关于未知参量θ，σ2和Sl的函数，其中σ2和Sl的最大似然估计为

其中P⊥A为AH零空间上的正交投影矩阵;A+为A的伪逆矩阵。

将式(7)和式(8)代入式(6)，同时忽略常数项，则得线阵列波达方向的最大似然估计

因此DOA估计则转化为求解带不等式约束的优化问题，式(9)的求解需要非线性多维搜索实现，为了克服传统网格搜索方法计算量过大的问题，在此采用SQP方法对其进行优化求解。

2 似然函数的优化

2.1 应用SQP的似然函数优化

SQP方法是求解非线性优化问题的最优秀算法之一，在工业界优化邻域中占据着统治地位。似然函数的SQP优化求解的实现主要由3部分组成:拉格朗日函数的Hesse矩阵的BFGS(Broyden Flether Goldfarb Shanno)近似更新、二次规划(QP)子问题的求解和一维搜索与似然函数的计算。

2.1.1 Hesse矩阵的BFGS近似更新

在SQP每次迭代的过程中，利用拟牛顿法的思想可避免直接计算Hesse矩阵，从而提高计算效率。即是用BFGS的变尺度法计算正定拟牛顿矩阵H逼近拉格朗日函数的Hesse矩阵。其中Hesse矩阵的BFGS更新公式如下

其中

2．1．2 QP子问题的求解

SQP方法的基本思想是利用一系列的QP子问题近似逼近原问题，因此，SQP方法的每次迭代都需要求解一个QP问题，这里形式如下

2．1．3 一维搜索与似然函数的计算

利用Wolfe非精确一维搜索方法获得效益函数的迭代步长β(n)，并根据2．1．2节中求解QP子问题得到的下降方向d(n)可组成迭代公式

2．2 初始值的确定

利用下述方法进行SQP初始值的确定。首先，求出第1个信源的DOA初始值

按照上述方法依次进行，直至求出所有信源的初始估计值。

3 仿真实验

为验证上述方法的有效性，对算法进行了200次独立蒙特卡罗实验。设有两个远程窄带目标信号源，DOA分别为30°和45°。实验中噪声为高斯白噪声，阵列天线采用阵元数为M=8、阵元间隔为半波长的均匀线阵列。以均方根误差

作为算法性能指标测试的标准。其中Nrun为独立实验次数;θp为第p个信源DOA的真实值;p(q)为第q次实验得到的DOA的估计值。

实验1 不同采样快拍数估计精度对比实验。采样快拍数取值分别为L=32，L=64和L=128，则在不同信噪比时均方根误差曲线如图1所示。从图1中可以看出，在小快拍、低信噪比条件下该算法均具有较高的估计精度，说明是正确可行的。

实验2 与随机性优化算法的性能对比实验。选取两种比较典型的随机性优化算法:遗传算法(GA:Genetic Algorithm)和粒子群(PSO:Particle Swarm Optimization)算法［9，10］与笔者SQP方法分别对似然函数进行优化求解，其中上述两种随机性优化算法的迭代次数选为120，种群数量选为60。图2给出了上述3种优化算法在采样快拍数L=32的情况下，对DOA估计的均方根误差变化曲线。从图2中可以看出，粒子群算法或遗传算法不能保证每次都能搜索到全局最优，整体收敛精度较差。与之相比，SQP方法能很好地对似然函数进行优化，基本每次均可找到全局最优解，数值求解稳定，精度较高，从而验证了该算法的有效性。

图1 不同采样快拍数均方根误差Fig.1 RMSE of DOA estimation with different number of snapshots

图2 不同优化算法均方根误差比较Fig.2 RMSE of DOA estimation with other optimization methods

表1给出了不同信噪比时，上述3种方法在DOA估计中每次寻优的平均计算时间。实验所用电脑处理器为AMD Athlon(tm)X2 240，主频为2.80 GHz，内存为1 GByte以及仿真软件为Matlab2009。从表1中可以得知，相同信噪比下，应用SQP对似然函数求解平均寻优用时均小于另外两种优化方法。这主要因为SQP方法在每步迭代过程中都运用了梯度这一方向性信息，给每次迭代搜索指明了收敛的方向，而另外两种算法由于其本身的特点没有运用到这一有效的信息。另外，随着信噪比的不断下降，不断增大的噪声对梯度的正确指向性影响加剧，导致SQP寻优迭代步数增加，致使寻优所用时间有所增大。综上分析可知，SQP方法可以用较少的计算时间实现对似然函数的优化求解，保证了算法目标估计时的快速性和实时性。

表1 不同优化算法的平均计算时间比较Tab.1 Average computing time of DOA estimation with different optimization methods

4 结 语

针对最大似然DOA估计算法中需要非线性多维搜索而引起的计算量过大问题，将SQP方法与最大似然估计方法相结合，提出了一种应用SQP优化算法的最大似然DOA估计算法。该算法充分运用了似然函数中的梯度等相关信息，再结合SQP算法全局最优且局部超线性收敛的特性，极大地减少了算法的计算量，加快了寻优的过程。与其他算法相比，该算法具有寻优时间短，估计精度高等特点，且在小快拍、低信噪比条件下仍然具有较高的估计精度。

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(责任编辑:何桂华)

Application of SQPOptimization to Maximum Likelihood DOA Estimation

SHAN Zetao1，SHAN Zebiao2，ZHU Lanxiang2，3，SHIYaowu2

(1.Manufacturing Department，Nuobo Rubber Production Company Limited，Baoding 072550，China; 2.College of Communication Engineering，Jilin University，Changchun 130022，China; 3.School of Electronic Information，Changchun Architecture and Civil Engineering College，Changchun 130607，China)

In order to estimate the DOA(Direction Of Arrival)accurately and quickly，a spectrum estimation method based on maximum likelihood algorithm and SQP(Sequence Quadratic Program)was presented.First，themaximum likelihood function for DOA estimation is deduced，and it is used to convert the problem from parameter estimation to a nonlinear function optimization problem.Then，SQP is applied to optimize the process of finding the solutions of themaximum likelihood estimator in order to estimate the DOA.The proposed method reserves the asymptotic unbiased estimation of themaximum likelihood estimator and comparing with the genetic algorithm or particle swarm algorithm，this proposed algorithm has faster speed optimization，and has higher convergence precision.

direction of arrival(DOA)estimation;sequence quadratic program(SQP);maximum likelihood estimation;optimization methods

TN911

A

1671-5896(2015)04-0356-05

2015-03-08

国家自然科学基金资助项目(51475198);吉林省青年科研基金资助项目(20140520064JH)

单泽涛(1985— )，男，河北邢台人，诺博橡胶制品有限公司工程师，主要从事测控技术与工程优化研究，(Tel)86-13596401456(E-mail)phd1314@qq.com;通讯作者:单泽彪(1986— )，男，河北邢台人，吉林大学博士研究生，主要从事阵列信号处理、信号检测与自动控制研究，(Tel)86-18686482648(E-mail)zbshan@126.com;石要武(1954— )，男，长春人，吉林大学教授，博士生导师，主要从事信息处理与智能控制研究，(Tel)86-13620781237(E-mail)shiyw@jlu.edu.cn。