运用变式教学发展学生思维品质

胡晓红

初中是学生的学习能力以及创新和思维能力培养的关键阶段，具有较强的可塑造性。斯托利亚尔说过：数学教学应是思维活动的教学。因此，开发初中生的思维潜能，提高思维品质，具有十分重大的意义。在新课程改革的背景下，为了达到这样的学习和教学效果，变式教学在数学课堂中的应用就显得尤为重要。下面笔者就简单地谈一下在教学中运用变式教学如何促进学生的思维发展。

一、在数学概念教学中运用变式，发展学生能力和思维

在概念学习中，利用变式启发学生积极观察、分析、归纳，培养学生正确概括的思维能力。从培养学生思维能力的要求来看，学习数学概念时提示其内涵与外延，比数学概念的定义本身更重要，所以在形成概念的过程中，可以利用变式引导学生积极参与形成概念的全过程，利用变式让学生自己去发现不同概念之间的区别和联系。通过多样化的变式提高学生学习的积极性，培养学生的观察、分析以及概括能力和思维的严谨性。

1.引入概念时进行变式训练，培养学生概括能力

一节课的教学效果最终会如何，新知引入的方法起着关键作用。在数学概念引入时就让学生接受变式训练，既可以拉近现实与概念两者的距离，也可以让学生对概念的最初印象更加准确和全面。

例如，在教学圆周角的定义时，可先让学生观察一般的圆周角， 然后再把一些变了形的圆周角让学生判断，要求说清原因（如图1）。

经过以上的变式教学，学生对这一概念有了深刻的认识，掌握了圆周角的各种变化，为后续教学奠定了坚实的基础。

2.深入理解数学概念时进行变式训练，培养思维的严谨性

实施变式教学的最佳措施就是将数学概念转化延伸为变异空间，以其对象为主要变式，并通过将拥有统一属性不同类型的变式进行对比，从而突出该变式的特性。分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，而学生在学习分式方程后，常常会对这两个概念混淆不清，为了让学生分清这两个概念，上课时笔者常常采取提问变式的方式进行教学。

例如：当a为何值时，关于x的方程①会产生增根？

解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）+ax=3（x-2）

整理得（a-1）x=-10 ②

若原分式方程有增根，则x=2或-2是方程②的根.

把x=2或-2代入方程②中，解得，a=-4或6.

变式：若将此题“会产生增根”改为“无解”，即：

当a为何值时，关于x的方程①无解？

此时还要考虑转化后的整式方程（a-1）x=-10本身无解的情况，解法如下：

解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）+ax=3（x-2）

整理得（a-1）x=-10 ②

若原方程无解，则有两种情形：

（1）当a-1=0（即a=1）时，方程②为0x=-10，此方程无解，所以原方程无解。

（2）如果方程②的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解。原方程若有增根，增根为x=2或-2，把x=2或-2代入方程②中，求出a=-4或6。

综上所述，a=1或a=-4或a=6时，原分式方程无解。

结论：从上面两题可以看出分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等。它包含两种情形：一是原方程化去分母后的整式方程无解；二是原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解。弄清分式方程的增根与无解的区别和联系，能帮助我们提高解分式方程的正确性，对判断方程解的情况有一定的指导意义。

二、在揭示数学本质中运用变式，培养学生思维的创新性和深刻性

学生如果对数学知识的认知不透彻，就不能揭示问题的本质，就会造成思维的不完整性和模糊性，从而影响思维的发散创新性和聚合能力。如学生在解题过程中对某些解题方法的认知只是停留在表面上的理解，没抓住解题方法的实质，从而造成不能灵活应用的情况。

题目（2012年扬州中考题）：如图2，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边，在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是 。

在讲完这道例题后，笔者对它进行变式：

变式1 如图3，将原题中的两个等腰直角三角形△ACD和△BCE换成等边三角形，DE的长还存在最小值吗？如果存在，怎样求DE长的最小值呢？

方法一：设AC=x，则CD=x.CE=BC=2-x.

作DH⊥CE于H，则

CH= x，DH= x，HE=CE-CH=2- x.

∴DE2=DH2+HE2= （ x）2+ （2- x）2=3x2-6x+4=3（x-1）2+1

∴当x=1时，DE2取得最小值，DE也取得最小值，最小值为1.

方法二：如图4，作DF⊥AC于F，EG⊥BC于G，DH⊥EG于H，则DH=FG=AB=1.

又显然DE≥DH，故DE的最小值为1.

变式2 如图5，将原题中的两个等腰直角三角形△ACD和△BCE换成分别以AC、BC为底的等腰三角形，DE的长还有最小值吗？怎样求DE长的最小值呢？

作DF⊥AC于F，EG⊥BC于G，DH⊥EG于H，则

DH=FC= AB=1. 又显然DE≥DH，

故DE的最小值为1.

一道练习，如果教师不进行深度加工，广度挖掘，学生得到的收获是有限的，解题思维也会逐步定势，再加上讲不得法，还会使学生产生错误的思维定势，若对例题的条件、结论进行变化，或改变题目的陈述，将会产生一种“新情境”，在此情境下进行变式训练，则对学生准确掌握知识与方法，提高变通能力和创造性，促进认知结构的内化是相当有益的。

变式教学蕴含《道德经》的哲学思想：“道生一，一生二，二生三，三生万物。”这种思想体现事物内部各要素以及事物与事物之间互为前提，互为因果，相辅相成的关系和态势。变式教学中通过对数学知识本质的各个特征维度进行变式，彰显对知识本质的学习掌握，构成学习者内在的知识网络，进而对知识的体系有一个系统的认识。变式教学可以促使学生的思维向多层次、多方向发散，帮助学生在问题的解答过程中去寻找解类似问题的思路、方法，有意识地展现教学过程中教师与学生数学思维活动的过程，充分调动学生学习的积极性，使其主动地参与教学的全过程，培养学生独立分析和解决问题的能力，以及大胆创新、勇于探索的精神，从而真正把学生能力的培养落到实处。