有效积累数学活动经验的四个途径

李生强

（长乐师范学校附属小学，福建 长乐 350200）

数学基本活动经验作为《义务教育数学课程标准2011年版》提出的“四基”之一，已引起小学数学教师的广泛关注。数学活动经验是在特定的数学活动中，在教学目标的指引下，学生直接或间接地经历实践活动所形成的个性化的认识、体验和领悟，是经历数学活动的过程和结果的组合体。[1]数学活动经验的获得有益于数学意义的建构，形成完整的认知结构，是学生数学素质养成的必要条件。笔者认为，在教学中应以问题为载体，从重组迁移、多维建构、比较探究和综合应用四个途径帮助学生有效积累数学活动经验。

一、重组迁移——扩展认知经验

弗赖登塔尔曾经提出:“每个人都有自己生活、工作和思考着的特定客观世界以及反映这个客观世界的各种数学概念，它的运算方法、规律和有关的数学结构。”这就是所谓的“数学现实”。“数学现实”不单是新旧知识的逻辑连接，也不能简单地理解为新知的“预备知识”，而更多的是指向于学生原有认知的方式、规律的把握、抽象的能力等。教学新知就要了解学生的原初经验，它是后续经验扩展的基础。

三年级学生在学习“分数的初步认识”时积累了较丰富的“均分”经验，五年级“分数的意义”内容是对原有认知的扩展理解。皮亚杰等人的研究表明，借助“面积”模型容易帮助学生认识分数。教材常以“把一块月饼平均分成四份，每份是它的四分之一”作为例题，引导学生学习分数。继而教师结合“拿一张长方形或正方形、圆形的纸折一折，表示它的进行更高层次的抽象，归纳它们的共同属性。但感性的直观操作只是建构单一的分数“面积”模型。五年级再次重构的意义时，教师要精心安排学生经历多种模型，帮助学生建构分数的丰富意义。

学生通过观察并发现:一个物体、一个计量单位或是一些物体等都可以看作一个整体，可以用自然数1来表示。不管是月饼、图形、单位长度、多个物体的均分，其中的一份都能表示为单位“1”的。特别是借助数形直观帮助学生建构分数“集合”模型，有效突破以往分数“连续量模型”的思维局限，降低了对“离散量模型”的理解难度。当学生有了大量的感官、操作经验的基础，不难引导学生归结:可以用0～1这样的一条线段来表示这里的每一个单位“1”，把它平均分成4份，每份是它的“数线”模型的建构也就水到渠成了。教师利用多种模型帮助学生理解分数的意义，引导学生对经验进行重组性迁移，，学会发现不同素材之间的共同点，从而认识分数的抽象意义。[2]

为学生提供一些经过结构化处理的素材，使数学活动更具“数学味”。让学生经历数学产生的过程，以数学表象为支撑，促进学生的思维由感性向理性发展，有效帮助学生进行经验的扩展。

二、多维建构——丰实抽象经验

学生对数学知识的理解不是一蹴而就的，需要一个长期的过程。教材简单的内容，却蕴含丰富的数学内涵。如何透过外在形式，引导学生深刻理解，取决于教师对教材的深度解析。鉴于小学教材浓厚的现实基础，教师可对内容进行研发，创设学生可感可知的问题情境，帮助学生多维建构新知。中高年级学生具有初步的抽象思维能力，在问题研究中可以展现思维历程，让学生综合理解数学概念。

“平均数”一课是在学生学会整数除法和“平均分”的基础上进一步展开教学的。在设计该课时，如何准确定位教学目标?如何超越算法的程序性理解水平，达到算法和统计方面的概念性理解水平?以期对应《义务教育数学课程标准（2011年）》提出的“体会平均数的作用，能计算平均数，能用自己的语言解释其实际意义”的目标成为首要思考的问题。为此，笔者创设了“大问题”情境，分板块地引导学生多层面体会平均数的特征和作用。

师:请你仔细观察数据，你觉得谁的成绩更好?（课件出示下图）

20秒夹珠子成绩统计图

通过观察、说理、辨析，学生明白不能比较某一次成绩，也不能比较总成绩。基于“平均分”的认知经验，学生觉得“选一个数作为平均每次夹珠子的个数”来比较更公平，体会平均数产生的必要性，能运用“移多补少”和“先合后分”的方法求出“平均数”。学生通过观察图形，操作计算，合作探讨平均数的特征:“平均数比最小的数大，比最大的数小”“超过平均数的部分等于不到平均数的部分”“平均数不是实际的数，它是虚拟的数”“当小君第四次多夹一些珠子，就能赶上或超过小迪的平均成绩，平均数容易受某一数据的影响。”学生对于相对抽象的平均数的区间性、虚拟性、敏感性等有了丰富的体验。

在认知实践中叩问本质，教学中的多维建构使数学概念的本质及性质越来越清晰了，从而深化学生对数学概念的有效理解，从中积累了丰实的数学抽象性经验。

三、比较探究——优化方法经验

在小学数学教学阶段，有意识地向学生渗透一些数学思想方法，是提高学生的数学素养和思维品质的重要手段。布鲁纳说:“探究是教学的生命线”。教师要引导学生经历数学活动的全过程，探索解决问题的途径、方法和策略，体会数学思想方法在解决问题中的作用。

“牛奶中的数学问题”是五年级下册第六单元“分数的加法和减法”新增的问题解决内容。虽然，学生已学习分数的意义和加减法的内容，但这牵涉到应用分数解决问题，比较抽象，有一定的难度。一位老师课始创造“喝牛奶”的生活情境，让学生从中发现数学信息，提出关键问题:“一杯纯牛奶，老师喝了半杯后，觉得有点凉，就兑满了水，又喝了半杯。老师一共喝了多少杯纯牛奶?多少杯水?”学生先自己想办法解决上述问题，两分钟独立尝试后，一部分学生做错，一部分学生做对，还有一部分学生无从下手。老师找到不会的学生说说自己的想法，鼓励其说出不会的地方，理清了解题的关键点:“第二次喝了多少杯纯牛奶?喝了多少杯水?”在探究理解杯的一半是杯”这个数量关系时，学生中出现纯文字说理，直接计算，数形结合等不同解决问题的方法。课堂充分展现学生富有个性的思路，这是教学中最宝贵的学习资源。学生比较、评价各种方法，体会到纯文字说理、直接计算不是最佳解题策略，如果通过数形结合就能把“形”中蕴藏的数量关系形象地表示出来，使问题简明直观。[3]根据学生反馈，教师借助课件演示、梳理整个过程。

通过回顾、整理，让学生进一步清楚问题解决的过程、步骤和方法，形成画图解题的经验。学生体味这一解题经验在问题探究中提供什么样的帮助?感受画图法在理解、分析喝牛奶问题中的优化作用，学习了运用几何直观解决实际问题，感悟“数形结合”“变中不变”等数学思想，同时也为今后探究解题方法积累优化经验。

四、综合应用——提升思维经验

朱德全教授说:“应用意识的生成便是知识经验形成的标志。”在整个教育过程中都应该培养学生的应用意识，让学生认识到生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题都可以抽象成数学问题，用数学的眼光加以分析和解决。“综合与实践”领域的内容是培养学生应用意识的重要载体。[4]

“包装的学问”属于北师大版五年级下册的内容。此前，学生已学过长方体的特征和表面积的计算等相关知识。五年级学生已具备一些商品包装的生活经验，但很少亲自动手包装过，或从节约材料的角度去关注，更谈不上从数学的角度去探究包装的学问。一位教师教学该课时，先以一个长方体盒子的单独包装问题作为学习的起点，唤起学生对长方体表面积计算的经验。把两个相同盒子组合包装的节约用纸问题定为该课教学重点。课中，学生借助所提供的长方体学具，用操作实践的方法，直观感受为什么要包装、可以怎样包装、如何包装最节约;在对比、分析不同包装方案中，总结最省包装的特点:相同的长方体叠放后减少的面积越多，露在外面的面积越少，包装越节省。全班学生通过计算验证，梳理方法，形成策略。学生在“玩”中学，在“学”中思，活动架设起数学与生活之间的桥梁。在“实践应用”环节，小组合作学习:如果把4盒糖果包在一起，怎样包装最节省包装纸?课堂出现预设学情:一是四个长方体六个大面重叠一起，二是重叠四个大面和四个中面。受到刚形成的认知经验的迁移，难免出现第①种方案。教师再次组织学生进行操作、观察、对比、说理、验证等开放式的互动交流，最终领悟:第①种方案减少六个大面的面积，第②种方案减少四个大面和四个中面的面积。两个长方体大面叠放一起时，两个中面的面积合起来大于一个大面，通过比较四个中面和两个大面的面积，发现第②种方案更省包装纸。

四个相同盒子组合包装的节约用纸问题是本节课的拓展和延伸，也是思维灵活性、优化包装策略的数学思想在本节课的进一步体现。学生灵活运用知识解决实际问题的能力得到新的考验，学生的思维不断走向深入，也对包装中的最优策略有了更深的体会。学生通过检查自己的思维过程，反思遇到的新问题，以及如何解决这些问题，并从中回味思路，自我领悟，提升并丰富数学思维经验。[1]

数学活动经验的获得有赖于问题的有效规划和设计，让学生经历数学活动的全过程，学会从头到尾数学地思考问题，“重走科学家的发现之路”，从而积累数学实践的经验和思维的经验。教师应作为学生数学活动经验的开发者、促进者，只有在数学活动中沿着“做—思—用—悟”的途径前行，才能使学生积累的活动经验得以有效内化和提升。

[1]刘德宏.经历活动过程，积累活动经验[J].小学数学教育，2014（10）.

[2]任景业.创新需要把经验重新结构化[J].福建教育，2012（23）.

[3]雷玲.名师课堂DNA解码[M].福建:福建教育出版社，2012.

[4]教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京:北京师范大学出版社，2012.