二次函数迭代的一个问题的探究

2015-12-08 08:11陈伊遐俄亥俄州立大学数学系俄亥俄
中学教研(数学) 2015年3期
关键词:俄亥俄数学系实根

●陈伊遐(俄亥俄州立大学数学系俄亥俄)

二次函数迭代的一个问题的探究

●陈伊遐(俄亥俄州立大学数学系俄亥俄)

文献[1]~[3]对二次函数f(x)=x2+bx+c的迭代进行了探讨,其中文献[2]、[3]得到了关于方程f2(x)=x在特殊情形下根的一个结论:设f(x)=x2+bx+c,记Δ0=(b-1)2-4c,若方程f(x)=x有2个不等实根,则1)当0<Δ0<4时,f2(x)=x只有2个不等实根;2)当Δ0>4时,f2(x)=x有4个不等实根.方程f2(x)=x中的f2(x)为f2(x)=f(f(x)),一般地有fn(x)= f(fn-1(x)).

本文将考虑一般二次函数f(x)=ax2+bx+c (其中a≠0且a,b,c∈R)的迭代,用初等方法给出了方程f2(x)=x的所有实根,显然方程f2(x)=x为x的4次方程.

记y=f(x),即

由f2(x)=x知x=f(y),即

上述2式相减整理可得

从而x-y=0或a(x+y)+(b+1)=0.

当x-y=0时,即x=ax2+bx+c,亦即

记Δ=(b-1)2-4ac,根据判别式易解方程(1).

当a(x+y)+(b+1)=0时,由方程组

消去y,整理可得

此时判别式为

方程(2)可解,因而有:

定理1设f(x)=ax2+bx+c,记Δ=(b-1)2-4ac,则

1)当Δ<0时,方程f2(x)=x无实根;

2)当Δ=0时,方程f2(x)=x有1个实根;

3)当0<Δ≤4时,方程f2(x)=x有2个不等实根;

4)当Δ>4时,方程f2(x)=x有4个不等实根.

证明当Δ<4时,结论显然成立.

当Δ=4时,方程(1)的2个不等实根为

当Δ>4时,方程(1)的2个不等实根为

方程(2)的2个不等实根为

例1设f(x)=x2+x-2,解方程f2(x)=x.

解方程(1)为x2-2=0,解得,显然点为f(x)的不动点,此时有fn(x)=x.

方程(2)为x2+2x= 0,解得x=-2或x=0,显然点(-2,0),(0,0)为f(x)的2-周期点,此时有f2n(x)=x.

图1

因而方程f2(x)=x有4个实根:,-2,0 (如图1所示).

[1]王兴东,顾新辉.二次函数迭代的一个问题[J].数学通讯,2005(13):24-26.

[2]陶楚国.二次函数迭代的一个问题初探[J].数学通讯,2006(17):31-32.

[3]李永利.关于二次函数迭代的一个定理的简证[J].数学通讯,2007(11):15.

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