几类广义正规性关系的一些注记

唐 娜

(1.淮阴师范学院数学科学学院，江苏淮安 223300;2.苏州大学数学科学学院，江苏苏州 215006)

几类广义正规性关系的一些注记

唐 娜1，2

(1.淮阴师范学院数学科学学院，江苏淮安 223300;2.苏州大学数学科学学院，江苏苏州 215006)

讨论了λ-补、弱s-补、c-补等几类广义正规性之间的关系，并得到部分相关结果:1)令P是G的Sylow p-子群且Op'(G)=1，若G的每个包含P的真子群都是p-幂零的且H在G中λ-补，HSE是P的正规子群，则H在G中c-补或存在G的次正规子群T使得HSE是T的Sylow p-子群且［G∶T］=［P∶HSE］;2)令H是G的4阶循环子群，若O2'(G)=1，H在G中λ-补，则H在G中弱s-补;3)令P是G的2-子群且N是G的包含在P中的2阶正规子群，若O2'(G)=1且P的每个4阶子群在G中λ-补，则P的每个极小子群均在G中弱s-补.

λ-补;弱s-补;c-补;s-拟正规嵌入;s-拟正规

本文中涉及的群均为有限群，并采用符号G表示，另参照文献［1-2］使用了标准的术语和符号.

近年来，广义正规性一直是可解群的研究热点之一［3-5］.若H与G的所有子群都相乘可换，则称H在G中拟正规.进一步地，若H与G的所有Sylow子群都相乘可换，则称H在G中s-拟正规［6］.Ballester-Bolinches等［7］认为若对于G的子群H的阶的任意素因子p，H的Sylow p-子群Hp也是G的某个s-拟正规子群的Sylow p-子群，则称H在G中s-拟正规嵌入.2000年，Ballester-Bolinches等［8］再次提出c-补的概念，认为对于G的子群H，若存在G的子群K使得HK=G且H∩K≤HG，这里HG是包含在H中的G的最大正规子群，则称H在G中c-补.Skiba［9］结合考虑s-拟正规与c-补，给出了弱s-补子群的概念.Li等［10］结合s-拟正规嵌入和c-补，给出了λ-补的概念.本文拟探讨λ-补、弱s-补、c-补等几类广义正规性间的关系.

1 预备知识

定义1［9］194令H是G的子群，若存在G的子群T使得G=HT且H∩T≤HSG，则称H在G中弱s-补，这里HSG是包含在H中的G的最大s-拟正规子群.

定义2［10］4373令H是G的子群，若存在G的子群T使得G=HT且H∩T≤HSE，这里HSE是G的所有s-拟正规嵌入子群所生成的H的子群，则称H在G中λ-补.

引理3［6］214G的s-拟正规子群在G中次正规.

引理4［11］若G的子群H在G中s-拟正规，则H/HG是幂零的.

引理5［12］若H在G中s-拟正规，且对某素数p，H是一个p-群，则Op(G)≤NG(H).

引理6［13］令H是G的幂零子群，则下述结论等价:

1)H在G中s-拟正规;

2)H≤F(G)且H在G中s-拟正规嵌入.

2 主要结果

定理7 令P是G的Sylowp－子群且O p′（G）＝1，若G的每个包含P的真子群都是p－幂零的且H在G中λ－补，H SE是P的正规子群，则H在G中c－补或存在G的次正规子群T使得H SE是T的Sylowp－子群且［G∶T］＝［P∶H SE］.

证明 由于H在G中λ－补，故存在G的子群K使得H K＝G且H∩K≤H SE，于是存在G的子群T使得H SE是T的Sylowp－子群；又因T在G中s－拟正规，所以由引理3可知T在G中次正规.

若T G＝1，那么由引理4知T＝T／TG是幂零的.因为T次正规于G，所以存在G的次正规群列TG12…G.由于T≤F（G1），而F（G1）charG12，因此T≤F（G1）≤F（G2）.依此类推，T≤F（G）.又因Op′（G）＝1，故T≤F（G）＝Op（G），从而H SE＝T在G中s－拟正规.由引理5知Op（G）≤NG（H SE），因此T＝H SEPN G（H SE）＝G，这与TG＝1矛盾，故T G＞1.

若PTG＜G，则由题设知PT G是p－幂零的，故T G的Hallp′－子群S在G中正规，而Op′（G）＝1，所以S＝1，即T G是p－群.因为T／T G≤F（G）／T G≤F（G／T G），所以H SE／TG≤Op（G／TG）≤Op（G）／T G.由引理6可得H SE在G中s－拟正规.由引理5有H SEPN G（H SE）＝G，即H SE＝H G，故H在G中c－补.若PTG＝G，则容易得到T＝T∩G＝（T∩P）T G＝H SE T G，因而［G∶T］＝［PTG∶H SE T G］＝［P∶H SE（P∩T G）］＝［P∶H SE］，结论成立.定理证毕.

定理8 令H是G的4阶循环子群，若O2′（G）＝1，H在G中λ－补，则H在G中弱s－补.

证明 由题设H在G中λ－补可知存在G的子群T使得H K＝G且H∩K≤H SE，故存在G的s－拟正规子群K，H SE是K的Sylow子群，再根据Burnside定理［14］推断K是2－幂零的.令K′是K的正规Hall 2′－子群，L是K′的极小正规子群，那么由Feit－Thompson奇阶定理可知L是素数幂阶的交换群.另由引理3知K在G中次正规，故L在G中次正规，即存在G的次正规群列LG1G2…G，于是L≤F（G1）.因F（G1）charG1G2，故F（G1）G2，于是L≤F（G1）≤F（G2）.依此类推，L≤F（G）.又因为O2′（G）＝1，所以L≤F（G）＝O2（G），这与L是2′－群矛盾，故K′＝1，即H SE＝K在G中s－拟正规，因此H在G中弱s－补.

定理9 令P是G的2－子群且N是G的包含在P中的2阶正规子群，若O2′（G）＝1且P的每个4阶子群在G中λ－补，则P的每个极小子群在G中弱s－补.

证明 令K是P的2阶子群且K≠N，那么T＝K N是4阶的初等交换2－群.由题设P的每个4阶子群在G中λ－补可知存在G的子群R使得TR＝G且T∩R≤T SE，所以存在G的s－拟正规子群S使得T SE是S的Sylow 2－子群.根据Burnside定理［14］75有L／N是S／N的正规Hall 2′－子群.因为N为2阶子群，所以L＝NL2′，这里L2′是L的Hall 2′－子群.若L2′≠1，则由Feit－Thompson奇阶定理有L2′可解知存在L2′的素数幂阶的正规交换子群C.因为CL2′LS且S在G中次正规，所以C在G中次正规.进一步地由O2′（G）＝1，有C≤F（G）＝O2（G），矛盾，故S＝T SE在G中s－拟正规.由引理3知TSE在G中次正规，即存在G的次正规群列T SEG1G2…G，从而TSE≤F（G1）.根据F（G1）charG1G2知F（G1）G2，所以T SE≤F（G1）≤F（G2）.依此类推，T SE≤F（G）.又因O2′（G）＝1，故T SE≤O2（G）.令Q是G的Sylowq－子群且q≠2，因为且NQ是2－幂零的，所以K正规化Q，KQ是G的子群，于是存在子群G使得KG＝G且K∩G＝K SG＝K，从而K在G中弱s－补.

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Some notes on relations of some kinds of generalized normalities

TANG Na1，2

（1.Sch of Math Sci，Huaiyin Norm Univ，Huai’an 223300，China；2.Sch of Math Sci，Soochow Univ，Suzhou 215006，China）

In this paper，we study the relations of some kinds of generalized normalities and obtain some results：1）LetPbe a Sylowp－subgroup ofGwithOp′（G）＝1.If every proper subgroup ofGcontainingPisp－nilpotent，Hisλ－supplemented inGandH SEis a normal subgroup ofP，then eitherHisc－supplemented inGor there exists a subnormal subgroupTofGsuch thatH SEis a Sylowp－subgroup ofTand［G∶T］＝［P∶H SE］；2）LetHbe a cyclic subgroup ofGof order 4.IfO2′（G）＝1 andHisλ－supplemented inG，thenHis weaklys－supplemented inG；3）LetPbe a 2－subgroup ofGandNa normal subgroup ofGof order 2 contained inP.IfO2′（G）＝1 and every subgroup of order 4 ofPisλ－supplemented inG，then every minimal subgroup ofPis weaklys－supplemented inG.

λ－supplemented；weaklys－supplemented；c－supplemented；s－quasinormal embedded；s－quasinormal

O 152.1

A

1007-824X(2015)03-0001-03

2014-04-18.E-mail:hytn999@126.com.

国家自然科学基金资助项目(11471138，11171243);江苏省高校自然科学基金资助项目(15KJB110002，14KJB110002).

唐娜.几类广义正规性关系的一些注记［J］.扬州大学学报(自然科学版)，2015，18(3):1-3.

（责任编辑 林 子）