严格对角占优M-矩阵最小特征值的新界

李艳艳,王东政

(1.文山学院数学学院,云南文山　663000;2.大连理工大学电子信息与电气工程学院,辽宁大连　116024)



严格对角占优M-矩阵最小特征值的新界

李艳艳1,王东政2

(1.文山学院数学学院,云南文山663000;2.大连理工大学电子信息与电气工程学院,辽宁大连116024)

摘要:利用严格对角占优M-矩阵A的逆矩阵A-1非主对角元素的估计式,首先给出了A-1的主对角元素的上下界,然后利用这个新界得到了最小特征值τ(A)的新估计式.理论证明和数值算例都说明新的估计式改进了李朝迁2013年给出的结果.

关键词:严格对角占优矩阵; M-矩阵; 最小特征值; 估计式;界

首先给出一些定义与记号:

M-矩阵A分裂为A=D-C(D=diag(a11,a22,…,ann)),称JA=D-1C为A的迭代矩阵;

引理1[1]设A=(aij)∈Rn×n是行严格对角占优M-矩阵,则

引理2[2]设A=(aij)∈Rn×n是行严格对角占优M-矩阵,则

引理3[2]设M=(βij)是非奇异的M-矩阵,N=(γij)是与M具有相同阶数的非负矩阵,N=M-A,则M-1N=JA,且满足如下不等式:

引理4[3]设A=(aij)∈Rn×n是行严格对角占优M-矩阵,则A-1=(αij)存在,且

引理5[3]设A=(aij)∈Rn×n是行严格对角占优M-矩阵,则∀i,j∈N,j≠i,t=0,1,2,…,如下两式成立:

1　主要结果

下面首先利用行严格对角占优M-矩阵非主对角元素的估计式,给出主对角元素的上下界,然后给出最小特征值τ(A)的一些改进的下界.

定理1设A=(aij)∈Rn×n是行严格对角占优M-矩阵,则A-1=(αij)存在,且

证明由引理4知,对任意的i∈N,t=1,2,…,有

定理3设A=(aij)∈Rn×n是行严格对角占优M-矩阵,则

将上式代入引理2,有

采用与定理3同样的方法可得如下定理.

定理4设A=(aij)∈Rn×n是行严格对角占优M-矩阵,则

式中,}.

从而

即

因此,式(6)提高了式(5),即定理4优于定理3.

推论设A=(aij)∈Rn×n是行严格对角占优M-矩阵,则

注3:由定……