交换半环上上三角矩阵代数的广义Jordan导子

庄金洪

（福建商业高等专科学校基础部，福建福州350012）

交换半环上上三角矩阵代数的广义Jordan导子

庄金洪

（福建商业高等专科学校基础部，福建福州350012）

探讨了交换半环上上三角矩阵代数的广义Jordan导子的刻画问题，证明了交换半环R上的上三角矩阵代数Tn（R）到Tn（R）-双模M的每个广义Jordan导子都可以分解成一个广义导子和一个反导子之和。

交换半环；上三角矩阵代数；广义Jordan导子；广义导子；反导子

1　预备知识

关于Jordan导子和广义Jordan导子已经有很多研究[1-10]。Herstein[1]证明了定义在特征不等于2的素环上的每个Jordan导子都是导子；D.Benkovic[2]证明了交换幺环R上的上三角矩阵代数Tn（R）到Tn（R）-双模M的每个Jordan都可以分解成一个导子和一个反导子之和；庄金洪等在文献[3]中将D.Benkovic的结论推广到交换半环上。邵霞等在文献[4]中证明了从含单位元的交换环上的上三角矩阵代数到其双模的每个广义Jodan导子是一个广义导子和一个反导子的和。那么，对于含有单位元交换半环R，每个定义在上三角矩阵代数Tn（R）到Tn（R）-双模M的广义Jodan导子是否也可分解成广义导子和反导子之和？本文旨在研究这个问题，并得到肯定的回答。

定义1[10]设R是一个非空集合，“+”与“·”是定义在R中的两个代数运算。如果

（1）（R，+，0）是一个交换幺半群，其中0为R的加法恒等元；

（2）（R，·，1）是一个幺半群，其中1为R的乘法恒等元；

（3）对任意的a，b，c∈R，均有a·（b+c）=a·b+a·c，（a+b)·c=a·c+b·c;

（4）∀a∈R，0·a=a·0=0

（5）0≠1。

则称R为一个半环，记为（R，+，·，0,1）或简记为R。其中加法恒等元0称为半环R的零元，而乘法恒等元1称为R的单位元，通常a·b简记为ab。

半环R称为交换半环，如果∀a，b∈R，均有ab=ba。

定义2[10]设R是一个半环，（M，+，0M）是一个交换幺半群，若有一个从R×M到M的映射（r，m）→rm，若满足下列5个条件，对于任意的r，r'∈R;m，m'∈M,均有