求异面直线距离的几种方法

华腾飞

求异面直线间的距离是高中数学的一个难点，难就难在不知怎样去找异面直线的公垂线，也不会将所求的问题进行转化.为此，下面举例向大家介绍几种求异面直线间距离的方法，相信对大家学好这部分知识会有一定的帮助.

一、平移法

解题思路若能找到一条直线c，使c与异面直线a和b都垂直，但c又不是a、b的公垂线，这时我们设法将直线c平移到直线c′处，使c′与a、b均相交，则c′夹在a和b之间的线段就是a和b的公垂线段.然后再根据平面几何和立体几何知识，求出公垂线段的长.

例1已知正方体ABCD-A1B1C1D1，其棱长为a，求AC和A1D间的距离.

解析如图1，由立体几何知识容易知道BD1⊥A1D、BD1⊥AC.

设BD与AC的交点为M，△DBD1中，将BD1平移到MN处，连结AN，可知N为DD1的中点.

设AN与A1D交点为Q.在△AMN中，将MN平移到QP处，可知QP就是AC与A1D的公垂线.

由平面几何知识，有AQQN=21，则AQAN=23，而MN=12BD1=32a，PQMN=AQAN，所以PQ32a=23，PQ=33a.

故AC和A1D的距离为33a.采用同样的方法可以求出BD与B1C的距离也为33a.（请同学们完成）

二、线面垂直法

解题思路a、b为异面直线，平面α过直线b，且a⊥α于O，过O在α内作OP⊥b于P，则OP的长为异面直线a、b间的距离.

例2如图2，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，其棱长为a，求B1D1与A1C之间的距离.

解析∵B1D1⊥A1C1， B1D1⊥CC1，∴B1D1⊥平面A1CC1于O1.

过O1做O1E⊥A1C于E，则O1E是异面直线B1D1与A1C的距离.

∵△A1CC1∽△A1O1E，∴A1O1O1E=A1CCC1，

∴O1E=A1O1·CC1A1C=22a·a3a=66a，即B1D1与A1C的距离为66a.

三、面面平行法

解题思路a、b为两条异面直线，分别过a、b作平面α、β，使α∥β，那么α、β的距离就是a、b的距离.

例3棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、AD的中点，求EF、DB1的距离.

解析如图3，G为AA1的中点.

∵GF∥A1D， GE∥A1B1，∴平面A1B1D∥平面EFG.

∵A1D⊥AD1， A1B1⊥AD1，∴AD1⊥平面A1B1D.

同理，AD1⊥平面EFG，∴AD1被平面A1B1D与平面EFG截得的线段MN的长就是异面直线EF与BD1的距离.

故异面直线EF与DB1的距离为：

MN=14AD1=24a.

四、转化法

解题思路求异……