六圆弧蛋形断面共轭水深的简化计算

雷加欣，滕　凯

(1.黑龙江省水利工程建设质量与安全监督中心， 黑龙江 哈尔滨 151001；2.齐齐哈尔市水务局， 黑龙江 齐齐哈尔 161006))

六圆弧蛋形断面共轭水深的简化计算

雷加欣1，滕凯2

(1.黑龙江省水利工程建设质量与安全监督中心， 黑龙江 哈尔滨 151001；2.齐齐哈尔市水务局， 黑龙江 齐齐哈尔 161006))

摘要：六圆弧蛋形断面共轭水深计算公式分段，且为复杂的超越方程，无法直接获解。通过对该种断面水跃共轭水深函数的进一步整理，获得了用无量纲面积倒数及无量纲静水压力表示的无量纲水跃函数，采用优化拟合方法分别对无量纲面积倒数及无量纲静水压力函数进行拟合替代，获得了可直接完成跃前及跃后断面水深计算的简化计算通式，计算过程简捷，方法直观，在工程适用参数范围内，最大计算误差小于0.8%。

关键词：六圆弧蛋形断面；共轭水深计算；优化拟合；简化算法

六圆弧蛋形断面具有较好的受力及过流条件，是较大型输水配水工程经常采用的断面形式[1]。由于六圆弧蛋形断面的曲线形式比较复杂，水力要素不但分段给出而且为较繁复的超越方程，因此，有关该种断面的水力计算也一直得到人们的关注，并开展了大量的研究工作，相继提出了该种断面正常水深、临界水深、收缩水深及水面线的简化计算方法[2-6]。但有关该种断面共轭水深计算方法的研究则相对较少，文献[7]通过分块计算不同水深对应的面积及形心位置，建立了相对面积、相对形心位置与相对水深的拟合关系式(适用于相对水深x∈[0.095,0.96]，最大相对误差小于1.8%)，分别给出了跃前、跃后断面水深的迭代计算公式，有效推进了该种断面共轭水深计算方法的研究工作。但由于所给公式比较复杂，存在收敛速度慢、初值范围大、迭代次数多等问题，仍需借助微机编程完成计算，不便实际应用。为进一步简化求解过程，有效提高计算工作效率，本文通过对水跃函数的进一步整理，获得了用无量纲面积倒数及无量纲静水压力表示的无量纲水跃函数，并采用优化拟合方法[8-13]分别对无量纲面积倒数及无量纲静水压力函数进行拟合替代，经推导获得了可直接完成跃前及跃后断面水深的简化计算通式，计算过程简捷，方法直观，仅借助计算器即可完成求解计算，在工程适用参数范围内，计算相对误差小于0.8%，具有较好的实用价值。

1简化公式的建立

1.1　基本计算公式

水跃共轭水深的基本计算公式为[14]

(1)

对于六圆弧蛋形断面(见图1，其半径分别为r1、r2及r3。各圆弧段所对应的圆心角分别为α1、α2、α3及α4。其数值关系为：r2=0.426042r1，r3=(17/56)r1，α1=25.375°，α2=121.1838°，α3=29.4081°，α4=40.1281°)，根据其水跃共轭水深的不同，其断面面积及断面形心至水面距离的计算公式也不同，考虑篇幅问题直接采用文献[6]成果，并设：

式中：J为跃前或跃后断面的水跃函数，m3；I为跃前或跃后断面的无量纲水跃函数；x为无量纲相对水深；h为计算断面水深，m(跃前断面为h1，跃后断面为h2)；k为已知综合参数。

图1六圆弧蛋形断面

由式(1)经进一步整理可得：

I=ky+z

(2)

其中：

(3)

(4)

(5)

式中：y为无量纲面积倒数；z为无量纲静水压力；γ为水深处于底部弓形断面时对应的半圆心角，(°)；β、β1及β2分别为水深处于最大宽度以下侧弧、最大宽度以上侧弧及顶部圆弧内时所对应的圆心角，(°)(具体位置见图2所示)。

图2六圆弧蛋形断面计算图

1.2　简化公式的建立

在式(2)中，因y、z为分段函数且为关于x的超越方程，试算求解十分繁琐。考虑在式(2)中因y、z均为相对水深x的函数，分别给定不同的xi(x∈[0,1])，即可分别求得与其相对应的zi及yi，进而可获得zi与yi及yi与xi的数值对应关系，并可完成z—y及y—x的关系曲线，见图3及图4。

图3y—x关系曲线

图4z—y关系曲线

由图3及图4的曲线图形关系可知，z—y具有较好的反比例函数关系，y—x具有负指数函数关系。据此，假定z′=F(y)和y′=f(x)在相对水深x[0.0965，1.0]范围内可以分别替代式(3)及式(4)中的z及y，且满足：函数的表达形式要最简化；替代原式后要具备用常规数学方法可以完成求解；替代公式要有较好的拟合精度。以标准剩余差最小为目标函数[15]，经数值回归分析[16]及替代函数优化比选，得到y及z的最优拟合替代函数为

y=0.22974x-1.5+1.34386x-1-1.82738x-0.5+1.46965

(6)

z=(1.55663y2+2.08979y-2.54164)-1

(7)

将式(7)代入式(2)经整理可得

ay3+by2+cy+d=0

(8)

其中：a=1.55663k，b=2.08979k-1.55663I，

c=-2.54164k-2.08979I，d=1+2.54164I

(9)

式中：a、b、c及d分别为与I及k有关的方程系数及常数项。

式(8)为关于y的一元三次方程，解这个方程可得：

(10)

其中：θ=arccosT

A=b2-3ac

B=bc-9ad

式中：A、B、θ及T均为中间变量。

当方程的两个根为一正一负时，正根为所求解(表示洞内产生跃前水深h1，跃后水深h2>r1)；当两个根均大于0，如果其中一根小于1.238，另一根为所求解(表示洞内产生跃前水深h1，跃后水深h2>r1)；如果两个根均在[1.238，17.82]范围内，则两个根均为所求解(表示跃前水深h1及跃后水深h2均在洞内形成)。

y值求得后即可由式(6)完成跃前或跃后断面共轭水深的计算，即为

当y>15.97114时

(11)

其中：p1,2=6.01296-0.71254y±

(12)

当y=15.97114时

x=0.10202

当1.238≤y<15.97114时

(13)

其中：θ1=arccosT1

T1=1.120345-0.132761y

式中：p1、p2、θ1及T1均为中间变量。

2精度分析

(14)

式中：wi为拟合相对误差，%；i=1，2，3……n；n为拟合计算的精度比较点数。

图5式(11)、式(13)计算误差包络线

由图5的误差包络线可见，当k∈[0.0000001，1.0]时，计算相对误差在x=0.0965时最大，其最大正、负相对误差分别为2.68%和-3.24%，然后，误差值w随x的增大迅速减小，当x=0.12时，其最大正、负相对误差分别减小至1.78%和-1.04%，而当x∈(0.12，1.0]时(工程常用区域)，其相对误差的绝对值均小于0.8%。可见，本文简化计算公式具有较好的求解精度，完全可以满足实际工程的计算精度要求。

3算例

采用文献[6]计算实例：一泄洪隧洞采用六圆弧蛋形断面，已知r1=10.0 m，消力池以上总水头E0=50.0 m，流速系数φ=0.86，渠道通过的流量为150 m3/s，试判断是否发生水跃，若发生水跃，试计算跃后水深。

根据已知条件可求得该水跃的水跃函数值为J=410.57 m3，依据本文公式可得：J=0.41057，k=0.0229358，a=0.0357026，b=-0.591237，c=-0.9163832，d=2.0436228，A=0.4477127，B=-0.1148635，T=-0.8630784，θ=149.664002°，将上述相关参数代入式(10)可求得方程的两个根分别为y1=17.820164，y2=1.269707。

因y2<15.97114，由本文公式计算得：T1=-0.863078，θ1=17.86585°，将T1及θ1值代入式(13)可求得跃后相对水深x为

则跃后水深为h2=xr1=9.366 m。文献[6]利用迭代法的计算结果为h2=9.399，两者的相对误差仅为0.35%。

4结语

针对六圆弧蛋形断面共轭水深计算存在的过于繁复问题，通过对整理后的无量纲水跃方程相关函数的拟合替代，获得了可通过求解一元三次方程完成共轭水深计算的简化公式，仅借助计算器(或智能计算器)方程求解功能(如Casio fx系列计算器)即可非常简捷地完成共轭水深求解，计算过程大大简化。误差分析及实例计算表明，在工程适用参数范围内，求解精度完全满足工程计算要求，具有实用推广价值。

采用本文方法也可完成类似较复杂过水断面共轭水深简化计算公式的建立，本文不详述。

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DOI:10.3969/j.issn.1672-1144.2015.04.030

收稿日期：2015-03-02修稿日期：2015-04-07

作者简介：雷加欣(1968—)，男，黑龙江宾县人，硕士，高级工程师，主要从事防灾减灾及工程优化设计研究。E-mail: leijiaxin@126.com 通讯作者：滕凯(1957—)，男，黑龙江齐齐哈尔人，高级工程师，主要从事水利防灾减灾及工程优化设计研究。E-mail：tengkai007@163.com

中图分类号：TV133+.1文献标识码： A 文章编号： 1672—1144(2015)04—0151—04

Simplified Calculation of Conjugate Water Depth for the Six-arc Egg-shaped Cross Section

LEI Jiaxin1, TENG Kai2

(1.HeilongjiangProvincialConstructionQualityandSafetySupervisionCenterofWaterConservancy,Harbin,Heilongjiang151001,China; 2.QiqiharMunicipalBureauofWaterAffairs,Qiqihar,Heilongjiang161006,China)

Abstract：Conjugate water depth formula of six-arc egg-shaped cross section is segmented and transcendental, it is difficult to calculate directly. Through further calculation of hydraulic jump conjugate depth function of this kind of cross section, dimensionless function of hydraulic jump was obtained, which was represented by the reciprocal of dimensionless area and dimensionless hydrostatic pressure. And then, an optimization fitting method was adopted to fit the reciprocal of dimensionless area and dimensionless hydrostatic pressure, through which the simplified calculation formula that could directly calculate the conjugate water depth before and after the hydraulic jump was established. This formula is simple and intuitive with a maximum error less than 0.8% in its parameter range of engineering applications.

Keywords:six-arc egg-shaped cross section; conjugate depth calculation; optimization fitting; simplified algorithm