浅谈如何上好高等数学的第一堂课

俞美华

（东南大学成贤学院基础部，江苏 南京210088）

1 高等数学的重要性

高等数学是大学新生在一年级必修的一门基础课程，高等数学即微积分，它的建立具有划时代的意义，它对科技的进步和发展具有极大的推动作用。它是学生走上工作岗位的必备工具。它不仅是学习其他数学课程，比如线性代数，概率统计，复变函数等课程的基础，也是以后学习专业课程的基础，它同时还是研究生入学考试的必考科目。另外，高等数学还可以更好地培养学生的逻辑思维能力。

2 高等数学的主要研究对象与研究思想

高等数学的主要研究对象仍然是函数，但是它研究的是变量，即函数的变化趋势,而初等函数也研究函数，但是它研究的是常量，对于函数y=ax2+bx+c，初等数学主要是讨论该函数对应曲线的开口方向，对称轴，顶点坐标等，而高等数学主要讨论该函数当x→x0时，y趋向于什么？也就是讨论一个变化趋势；当然高等数学会研究复杂一点的函数，比如分段函数，研究分段函数在分界点的变化趋势。

高等数学的思想，即极限的思想，也可以称为是无穷小分析，高等数学研究的是函数的变化趋势，如何讨论这种变化趋势呢？那就要用到极限的思想，极限的思想贯穿于整个高等数学，极限是讨论函数的极限，讨论当自变量进行某种变化时，对应的函数值的变化趋势；自变量变化趋势不一样，函数值的变化趋势可能就不相同，所以，讨论函数极限时一定要注意自变量的变化情况，比如下面两个极限：,,可见，同一个函数，在x→0时，是无穷大，在x→∞时，是无穷小，同一个函数在不同的自变量的变化下，它的极限可能是不相同的。

3 高等数学（即微积分）的发展历程

高等数学的整个内容可以用三个字来概括，即微积分。微积分是在数学内部的矛盾运动和数学外部的科学数学化的相互作用下，在当时所处时代背景和数学发展的主流思想支配与指导下，经历了一个漫长的孕育、创立、演变与发展的历史过程。微积分即微分学与积分学，早期，微分学与积分学是两门独立的学科，微分学是与导数相关的，导数是来源于求曲线的切线斜率以及求即时速度的实际问题；定积分是来源于求曲边梯形的面积的实际问题，定积分的思想很好，它可以用一个和式的极限来求得一些未知量；但是它的计算却相当麻烦，大约在17世纪，英国科学家牛顿与德国科学家莱布尼兹先后找到了简便计算定积分的方法，即牛顿-莱布尼兹公式，该公式将定积分的计算转化成求原函数的问题，而求原函数即求导数的逆运算，从而简化了定积分的计算，同时也将积分与微分统一起来了，自此，微分学与积分学就合二为一，也就有了微积分。微积分学的产生具有划时代的意义，20世纪杰出的数学家约翰.冯.诺伊曼在论述微积分时写道：“微积分是现代数学取得的最高成就，对它的重要性怎样估计也是不会过分的。”这也称为第一代微积分，第一代微积分，原理的表达与证明不够严谨。第一代微积分大约发展了130多年后，柯西和魏尔斯特拉斯等建立了严谨的极限理论，巩固了微积分的基础，形成了第二代的微积分，微积分的理论变得严谨了，但是，由于概念和推理繁琐迂回，对绝大多数学习高等数学的人来说，不容易理解，到现在为止已经发展了170多年，就是我们今天学习的微积分。第三代的微积分，是正在创建发展的新一代的微积分，人们希望微积分不但严谨，而且直观易懂，简易明快，让学习者用较少的时间和精力就能够明白其原理，国内外都有人在从事第三代微积分的研究以至教学实践，已经有了一些成绩，但是还有待完善，不便于推广，所以，我们现在学习的还是第二代的微积分。

4 高等数学的主要内容

高等数学主要研究函数的三大分析性质，即连续性，可导性，可积性，都是通过极限的思想来讨论的。高等数学分上下两册，上册讨论的函数是一元函数（只有一个自变量的函数），主要讨论一元函数的极限与连续的概念，一元函数的导数与微分的概念、导数的计算与导数的应用，一元函数的定积分等；下册讨论的函数是多元函数（含有两个或两个以上的自变量的函数），主要讨论多元函数的极限与连续的概念，多元函数的偏导数、全微分的概念及其计算，还研究二重积分与三重积分，曲线积分与曲面积分等，另外，还有两个相对独立的章节，即无穷级数与微分方程。无穷级数被认为是高等数学中的最难学的一个章节。

5 总结

本文主要从四个方面来阐述如何上好高等数学的第一堂课，即高等数学的重要性，高等数学的主要研究对象与研究思想，高等数学（微积分）的发展历程，高等数学的主要内容。通过以上内容的介绍使得学生对高等数学（微积分）的发展历史以及高等数学的思维方法有个大致的了解，同时对高等数学这门课程的重要性也有清醒的认识，因而能够激发他们学习高等数学的热情，使得他们能够喜欢高等数学并且进一步地学好高等数学。

［1］袁相碗.微积分基本方法[M].南京:南京大学出版社,2010.

［2］[美]William Dunham.微积分的历程：从牛顿到勒贝格[M].李伯民,汪军,张怀勇,等,译.北京:人民邮电出版社,2010.

［3］张景中.直来直去的微积分[M].北京:科学出版社,2010.

［4］同济大学应用数学系.高等数学[M].5版.北京:高等教育出版社,2012.