非线性分数阶发展方程耦合系统的非局部柯西问题

武旭艺

【摘 要】在任意的～Banach～空间中， 研究了非线性分数阶发展方程耦合系统非局部柯西问题的适应性. 基于某些条件下的 Banach 压缩定理， 非线性交错Leray-Schauder型 Schaefer 不动点定理， 得到了非线性分数阶发展方程耦合系统柯西问题存在唯一mild解.

【关键词】不动点定理；耦合系统；分数阶发展方程；mild解

Nonlocal Cauchy Problem for Coupled Systems of Nonlinear Fractional Evolution Equations

WU Xu-yi

（School of Materials & Metallurgy， Northeastern University， Yinchuan Ningxia 750000， China）

【Abstract】In this article， we syudy the well-posedness of the nonlocal cauchy problem for coupled systems of nonlinear fractional evolution equations in an arbitrary Banach space. Relaying on Banach contraction principle， Schaefer fixed point theorem under certain conditions， wo get the existence and uniqueness of mild solutions for the coupled systems of nonlinear fractional evolution equations.

【Key words】Fixed point theorem； Coupled Systems； Fractional evolution equations； Mild solution

0 引言

本文研究了非线性分数阶发展方程耦合系统的非局部柯西问题

D u（t）=Au（t）+f（t，v（t）），t∈（0，1）， D v（t）=Av（t）+f（t，v（t）），t∈（0，1），u（0）+w（v）=u ，v（0）+w（u）=v ，（1）

这里0

Oldham 和 Spanier[1]中系统的陈述了分数阶微分方程的应用， 详细请参阅 Miller 和 Ross[2]和 Kilbas 等人的[3]

分数阶微分方程耦合系统的研究是相当重要的，很多人做了研究， 参阅参考[4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14]. 最近， Fang[15]研究了非线性分数阶微分方程奇耦合系统正解的存在性. Su[16]讨论了分数阶微分方程耦合系统边界值问题. Ahmad 和 Nieto[17]研究了三点边界问题的分数阶微分方程耦合系统存在性结果.

在本文中， 假设E是范数为|·|的 Banach 空间. 令J？奂R， C（J，E）是从J到E， 范数为||x||= |x（t）|的连续函数Banach空间， 这里x∈C（J，E）.

对于E上的任意强连续半群（即C 半群）{T（t）} ， 在E上定义算子：

Ax= ，

其定义域D（A）是所有E上极限存在的x集合，且是稠密的，A是闭的， 详情请参阅[13].

1 预备知识

在本节中， 我们将介绍文中涉及到的空间、基本定义及用到的引理（详见[18]）

设B（E）是E到E范数为||Q|| =sup{|Q（u）|：|u|=1}的所有有界线性算子构成的空间， 这里Q∈B（E），u∈E.全文中， 设A是E中一致有界算子C 半群{T（t）} 上的无穷小生成元. 明显的，

M：= ||T（t）|| <∞.（2）

定义1.1 函数的次数为α， 极限为0的分数阶积分定义如下：

I f（t）= ds，t>0，0<α<1，

假设右边是定义在[0，∞）上的点态， 其中？祝（·）是 gamma 函数.

定义1.2 下界为0的阶数为α函数f∈AC[0，∞）的 Riemann-Liouville 导数能够被写为：

D f（t）= ds，t>0，0<α<1.

定义：1.3 阶数为α函数f∈AC[0，∞）的 Caputo 导数表示为：

D f（t）= D （f（t）-f（0）），t>0，0<α<1.

注记1.1 （1） 如果f（t）∈C [0，∞）， 则：

D f（t）= ds=I f′（t），t>0，0<α<1

（2）常数的 Caputo 导数等于0；

（3）如果f是值域在E的抽象函数， 则 ：1.1—1.3中积分定义是在 Bochner意义下得到的.

假设J？奂R，1≤p≤∞， 对于可测函数m：J→R，定义范数

||m|| =（ |m（t）| dt） ， 1≤p<∞， { |m（t）|}， p=∞， （3）

其中μ（ ）是 上的 Lebesgue 测度. 令L （J，R）是所有范数||·|| <∞的Lebesgue 可测函数m：J→R构成的Babach 空间.

引理1.1 （H？觟lder不等式） 如果|H|是 Lebesgue 可积的， 则可测函数H：[0，a]→E是Bochner可积的.

引理1.2 （Bochner'定理） 如果|H|是 Lebesgue 可积的， 则可测函数 H：[0，1]→E是Bochner可积的.

引理1.3 （Schauder 不动点定理） 如果B是 Banach 空间E中的有界闭凸子集， F：B→B完全连续， 那么F在B内有一个不动点.

2 主要结果

定义空间X={u（t）|u（t）∈C（[0，1]，E）}和Y={v（t）|v（t）∈C（[0，1]，E）}. 依据[15]中的结论， X和Y是 Banach 空间.

对（u，v）∈X×Y令

||（u，v）|| =max{||u|| ，||v|| }，

显然（X×Y，||·|| ）是一个 Banach 空间.

基于以上的论证， 给出方程组（1.1）mild解的定义.

定义2.1 若非局部的柯西问题（1.1）的解（u，v）∈X×Y满足下式：

u（t）= h （θ）T（t θ）（u -w（v））dθ +p θ（t-s） h （θ）T（（t-s） θ）f（s，v（s））dθds，t∈（0，1）v（t）= h （θ）T（t θ）（v -w（u））dθ +q θ（t-s） h （θ）T（（t-s） θ）g（s，u（s））dθds，t∈（0，1）

称（u，v）是方程组（1.1） 的mild解.

定义算子F：X×Y→X×Y，

F（u，v）（t）=（F v（t），F u（t）），（4）

其中

F v（t）= h （θ）T（t θ）（u -w（v））dθ

+p θ（t-s） h （θ）T（（t-s） θ）f（s，v（s））dθds，t∈（0，1），

F u（t）= h （θ）T（t θ）（v -w（u））dθ

+q θ（t-s） h （θ）T（（t-s） θ）g（s，u（s））dθds，t∈（0，1），

（5）

对任意的常数k，设：

U ={（u，v）∈X×Y：||（u（t），v（t））||≤k，t∈I}.

显然U 在Banach 空间X×Y中是有界闭凸子集.

在证明主要结果之前，先介绍下面的假设.

（H ）对任意t>0，T（t）是一个紧算子；

（H ）对每个t∈[0，1]函数f（t，·）：X→X和g（t，·）：Y→Y是连续的， 任意（u，v）∈X×Y函数f（·，u）：[0，1]→E和g（·，v）：[0，1]→E是强可测的；

（H ）对所有的（u，v）∈X×Y和几乎所有t∈[0，1]， 存在常数p ∈[0，p）和q ∈[0，q） ，m ∈L 和m ∈L 使得|f（t，u）|≤m （t）和|g（t，v）| ≤m （t）成立；

（H ） w：C（[0，1]，E）→E是一致连续， 以及对所有x∈C（[0，1]，E）， 存在正常数L ，L 使得|w（x）|≤L ||x||+L .

以下非局部柯西问题（1）的存在性结果是以Schauder 不动点定理为基础.

定理1

定理2.1 如果（H ）-（H ）满足，ML<1， 那么方程组（1）有mild解.

证明：对任意（u，v）∈U ， 由于sup =M，于是：

| h （θ）T（t θ）（u -w（v））dθ|≤M（|u |+L k+L ）（6）

h （θ）T（t θ）（v -w（u））dθ|≤M（|v |+L k+L ）（7）

直接计算得到（t-s） ∈L [0，1]，（t-s） ∈L [0，1]， 当t∈[0，1]和p ∈[0，p）， 令：

b = ∈（-1，0），M =||m ||

b = ∈（-1，0），M =||m ||

利用引理：1.1（H？觟lder不等式）和（H ），当t∈[0，1]， 得到：

| θ（t-s） h （θ）T（（t-s） θ）f（s，v（s））dθ|ds

≤M θ|（t-s） h （θ）f（s，v（s））|dθds

= |（t-s） f（s，v（s））|ds（8）

≤ （ θ（t-s） ） ||m ||

≤ ，（9）

类似的， 有：

| θ（t-s） h （θ）T（（t-s） θ）g（s，u（s））dθ|ds

≤ ，（10）

因此， 对所有t∈[0，1]， 当s∈[0，t]，| θ（t-s） h （θ）T（（t-s） θ）f（s，v（s））dθ和 θ（t-s） h （θ）T（（t-s） θ）f（s，v（s））dθ|是 Lebesgue 可积的. 由引理1.2（Bochner'定理）， 对所有的t∈[0，1]，s∈[0，t]， 可知 θ（t-s） h （θ）T（（t-s） θ）f（s，v（s））dθ和 θ（t-s） h （θ）T（（t-s） θ）f（s，v（s））dθ是 Bochner 可积的.

接下来用Schauder 不动点定理， 证明结果.

定义

U ={（u，v）∈X×Y：||（u（t），v（t））||≤k ，t∈I}，

其中

k =max{M +

M + }

观察，U 显然是Banach 空间X×Y中的有界闭的凸子集.

下面分两部分证明F在U 内有一个不动点.

第一步： F：U →U .

对所有的（u，v）∈U 和t∈[0，1]， 有：

|（F v）（t）|≤| h （θ）T（t θ）（u -w（v））dθ|

+p| θ（t-s） h （θ）T（（t-s） θ）f（s，v（s））dθds|

≤M（|u |+L k +L ）+ =k （11）

类似的， 有：

|（F u）（t）|≤| h （θ）T（t θ）（v -w（u））dθ|

+q| θ（t-s） h （θ）T（（t-s） θ）g（s，u（s））dθds|

≤M（|v |+L k +L ）+ =k （12）

因此， 对所有的（u，v）∈U ， 有F：U →U .

第二步： F是全连续算子.

首先， 证明F在U 内是连续的. 对所有的（u ，v ），（u，v）∈U ，n=1，2…，并且 ||（u ，v ）-（u，v）||=0，得到当t∈[0，1]， u （t）=u，当t∈[0，1]， v （t）=v. 因此， 由假设（H ）， 得到：

当t∈[0，1]， f（t，v （t））=f（t，v（t）），

因此， 推断出：

当n→∞， |f（s，v （s））-f（s，v（s））|→0.

另一方面， 当t∈[0，1]

|（F v ）（t）-（F v）（t）|≤| h （θ）T（t θ）（w（v ）-w（v））dθ|

+q| θ（t-s） h （θ）T（（t-s） θ）（f（s，v （s））-f（s，v（s））dθds|

≤ h （θ）M|（w（v ）-w（v））|dθ

+ （t-s） |f（s，v （s））-f（s，v（s））|ds

≤ML||v -v||+ |f（s，v （s））-f（s，v（s））|，

这意味着

||（F v ）（t）-（F v）（t）||≤ML||v -v||+ |f（s，v （s））-f（s，v（s））|.

因此，

当n→∞，||（F v ）（t）-（F v）（t）||→0.

即F 是连续的. 同样的， 得到F 也是连续的. 也就是， 算子F：U →U 是连续的.

其次， 证明{F（u，v），（u，v）∈U }是相对紧的. 这就可以证明 函数族{F（u，v），（u，v）∈U }是一致有界和同等连续的.

对任意（u，v）∈U 有||F v||≤k ，||F u||≤k ， 从而||F（u，v）||≤k .因此{F（u，v），（u，v）∈U }是一致有界的. 在下文中， 将证{F（u，v），（u，v）∈U }是同等连续函数族.

对每个（u，v）∈U ，0≤t

|（F v ）（t ）-（F v）（t ）|≤| h （θ）（T（t θ）-T（t θ））（u -w（v））dθ|+

|p θ（t -s） h （θ）T（（t -s） θ）f（s，v（s））dθds

-p θ（t -s） h （θ）T（（t -s） θ）f（s，v（s））dθds|

≤M h （θ）|[T（t θ-t θ）-I]（u -w（v））|dθ+p（I +I +I ）

其中：

I =| θ（t -s） h （θ）T（（t -s） θ）f（s，v（s））dθds|

I =| θ[（t -s） -（t -s） ]h （θ）T（（t -s） θ）f（s，v（s））dθds|

I =| θ（t -s） h （θ）[T（（t -s） θ）-T（（t -s） θ）]f（s，v（s））dθds|

运用 （11） 和 （12）式中类似的证明， 得到：

I ≤ ，

I ≤ （ （（t -s） -（t -s） ） ds） ||m ||

≤ （ （（t -s） -（t -s） ） ds）

= （t -t +（t -t ） ）

≤ .

当t =0，00， ε>0足够小，当θ∈（0，∞），有：

I ≤ θ（t -s） h （θ）||T（（t -s） θ）-T（（t -s） θ）|| |f（s，v（s））|dθds

+ θ（t -s） h （θ）||T（（t -s） θ）-T（（t -s） θ）|| |f（s，v（s））|dθds

≤ ||T（（t -s） θ）-T（（t -s） θ）||

+ ε

由于（H ）表明T（t）（t >0）连续， 推断出F 是同等连续的. 类似的， F 也是同等连续的， 因此， F（U ）是同等连续的.当t -t →0，与（u，v）∈U 无关， |（F v）（t ）-（F v）（t ）|趋近于零. 这意味着{F（u，v），（u，v）∈U }是同等连续的.

因此， 由Ascoli-Arzela定理， {F（u，v），（u，v）∈U }是相对紧的. 从而， F的连续性和{F（u，v），（u，v）∈U }的相对紧性意味着F是完全连续算子. 显然， F映射U 自身到自身. 因此， Schauder 不动点定理 表明F在U 内有一个不动点， 这意味着非局部柯西问题（1）有一个mild解. 证毕.

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[责任编辑：杨玉洁]