基于不动点的新弱化缓冲算子的研究

基于不动点的新弱化缓冲算子的研究

韩然，吴正朋

(中国传媒大学 理学院，北京 100024)

摘要：在灰色系统理论缓冲算子公理体系下，基于反函数与广义时间序列的平均发展速度构造了一类新的弱化缓冲算子，并研究其一些特性和内在联系，有效解决了冲击扰动数据序列在建模预测过程中经常出现的定量预测结果与定性分析结论不符的问题，实例分析结果表明该类算子的有效性和实用性。

关键词：时间序列；平均发展速度；不动点；弱化缓冲算子

中图分类号：N94文献标识码：A

收稿日期：2014-06-21

作者简介：韩然(1976-)，男(汉族)，山东潍坊人，中国传媒大学理学院讲师.E-mail：hanran@cuc.edu.cn种实用弱化缓冲算子，文献[7-9]构造了一种强化缓冲算子。本文在上述工作的基础上，根据“新信息优先利用”的原理和缓冲算子三公理，提出了一类新的弱化缓冲算子，并研究其特性及各种弱化缓冲算子之间的内在关系，从而使序列前一部分增长(减缓)速度过快，而后一部分增长(衰减)速度过慢的冲击扰动系统数据序列在建模预测过程中常常出现的定量预测结果与定性分析结论不符的问题得到有效解决。

Study on New Weakening Buffer Operators

HAN Ran，WU Zheng-peng

(School of Science，Communication University of China，Beijing 100024 )

Abstract：Under the axiomatic system of buffer operator in grey system theory，some new weakening buffer operators are established，which have been based on average tempo of time series. Meanwhile，the characters and the inherent relation among them are studied. The problem that there are some contradictions between quantitative analysis and qualitative analysis in pretreatment for vibration data sequences is resolved effectively. A practical example shows their validity and practicability.

Keywords：time series；average tempo；fixed point；weakening buffer operator

1前言

无论是对实验数据还是对统计数据，在选择模型之前必须对所获得的数据进行分析，否则就会出现定量预测结果和定性分析结论不相符的情况，问题的症结往往不在于所选模型的优劣，而是由于系统行为数据因系统本身受到某种外在冲击而失真。因此，寻求定量预测与定性分析的结合点，设法排除系统行为数据所受到的冲击干扰，还原数据本来面目，从而提高预测的精度，乃是摆在每一位预测工作者面前的一项重要任务[1]。灰色系统理论通过对社会、经济、生态等系统的原始数据挖掘和整理来寻求其变化规律的，这是一种从数据来寻找数据规律的理论体系。灰色系统理论认为，尽管客观系统表象复杂，数据离乱，但是它是有整体功能的，因此必然蕴含某种内在规律，关键在于如何选择适当的方法去挖掘它和利用它。刘思峰教授提出的缓冲算子理论[2-4]可以对所获得的数据序列经过某种生成，弱化其随机性，显示其规律性，成功地排除了外在冲击干扰，得到了能够反映系统变化规律的数据序列。

冲击扰动因素对系统行为数据序列的干扰既有加快数据的发展趋势或者使数据的振荡幅度变大，也有减缓数据的发展趋势或使数据序列的振荡幅度变小。为排除这些冲击因素的干扰，文献[5，6，10]提出了一------------------------

2基本概念

定义1[1]设X=(x(1)，x(2)，…，x(n))为系统行为数据序列，若

(1) 若∀k=2，3，…n，x(k)-x(k-1)>0，则称X为单调增长序列；

(2)若∀k=2，3，…n，x(k)-x(k-1)<0，则称X为单调衰减序列；

(3)若∃k，k′∈{2，…，n}有x(k)-x(k-1)>0，x(k′)-x(k′-1)<0，则称X为随机振荡序列。令

M=max{x(k)|k∈{1，2，…，n}}

m=min{x(k)|k∈{1，2，…，n}}

称M-m为序列X的振幅。

定义2[1]设X=(x(1)，x(2)，…，x(n))为系统行为数据序列，D为作用于X的算子，X经过D作用后记为

XD=(x(1)d，x(2)d，…，x(n)d)

称D为序列算子，称XD为一阶算子作用序列。

序列算子作用可以多次进行。相应地，若D1，D2，D3都为序列算子，称D1D2为二阶算子作用序列，等等。

公理1(不动点公理)[1]设X为系统行为数据序列，D为序列算子，则D满足x(n)d=x(n)。

不动点公理限定在序列算子作用下，系统行为数据序列中的数据x(n)保持不变，即运用序列算子对系统行为数据进行调整时，不会改变x(n)。

公理2[1](信息充分利用公理)系统行为数据序列X中的每一个数据x(k)，k=1，2，…，n都应充分参与算子作用的全过程。

信息充分利用公理限定任何序列算子都应以现有序列中的信息为基础进行定义，不允许抛开原始数据序列。

公理3[1](解析化、规范化公理)任意的x(k)d，k=1，2，…，n，都可以由一个统一的x(1)，x(2)，…，x(n)初等解析式表达。

解析化、规范化公理要求由系统行为数据序列得到算子作用序列的程序清晰、规范、统一且尽可能简化、以便于计算出算子作用序列并使计算易于在计算机上实现。

定义3[1]称上述三个公理为缓冲算子三公理，满足缓冲算子三公理的序列算子称为缓冲算子，一阶、二阶、三阶缓冲算子作用序列称为一阶、二阶、三阶缓冲序列。

定理1[1]设X=(x(1)，x(2)，…，x(n))为系统行为数据序列，缓冲序列记为XD=(x(1)d，x(2)d，…，x(n)d)，那么

(1)当X为单调增长序列时，D为弱化缓冲算子⟺x(k)d≥x(k)，k=1，2，…，n；

(2)当X为单调衰减序列时，D为弱化缓冲算子⟺x(k)d≤x(k)，k=1，2，…，n；

(3)当X为振荡序列时，D为弱化缓冲算子则

从上述定理可以看出，单调增长序列在弱化算子作用下，数据膨胀；单调衰减序列在强化缓冲算子作用下，数据萎缩。

3一类新的弱化缓冲算子的构造

则当X为单调增长序列、单调衰减序列和振荡序列时，D2都为弱化缓冲算子。

证明：容易验证，D2满足缓冲算子三公理，所以，D2为缓冲算子。下面证明D2为弱化缓冲算子。

(1)当X为单调增长序列，即0≤x(k)≤…≤x(n)。

又因f为一严格单调递增函数，f>0。

0≤f(x(k))≤…≤f(x(n))

又因g为f为反函数，则

由定理1知，缓冲算子D2为弱化缓冲算子。

(2)当X为单调衰减序列，即x(k)≥…≥x(n)≥0。

又因f为一严格单调递增函数，f>0。

f(x(k))≥…≥f(x(n))≥0

又因g为f为反函数，则

由定理1知，缓冲算子D2为弱化缓冲算子。

(3)若X为振荡序列时，设

x(α)=max{x(i)|i=1，2，…，n}

x(β)=min{x(i)|i=1，2，…，n}

x(α)≥x(1)，…，x(n)，x(β)≤x(1)，…，x(n)

由x(α)≥x(n)，x(β)≤x(n)，又因f为一严格单调递增函数，f>0。

所以

f(x(α))≥f(x(n))，f(x(β))≤f(x(n))

又因g为f为反函数，则

同理可证x(β)d2≥x(β)，即

故X为震荡序列时，D2为弱化缓冲算子。

则当X为单调增长序列、单调衰减序列和振荡序列时，D3都为弱化缓冲算子。

证明：容易验证，D3满足缓冲算子三公理，所以，D3为缓冲算子。下面证明D3为弱化缓冲算子。

(1)当X为单调增长序列，即0≤x(k)≤…≤x(n)。

又因f为一严格单调递增函数，f>0。

0≤f(x(k))≤…≤f(x(n))

又因g为f为反函数，则

由定理1知，缓冲算子D3为弱化缓冲算子。

(2)当X为单调衰减序列，即x(k)≥…≥x(n)≥0。

又因f为一严格单调递增函数，f>0。

f(x(k))≥…≥f(x(n))≥0

又因g为f为反函数，则

由定理1知，缓冲算子D3为弱化缓冲算子。

(3)若X为振荡序列时，设

x(α)=max{x(i)|i=1，2，…，n}

x(β)=min{x(i)|i=1，2，…，n}

x(α)≥x(1)，…，x(n)，x(β)≤x(1)，…，x(n)

由x(α)≥x(n)，x(β)≤x(n)

又因f为一严格单调递增函数，f>0。

所以

f(x(α))≥f(x(n))，f(x(β))≤f(x(n))

又因g为f为反函数，则

同理可证x(β)d3≥x(β)，即

故X为震荡序列时，D3为弱化缓冲算子。

从以上讨论可知，由于弱化缓冲算子必须要满足不动点公理，即x(n)d=x(n)，因此，弱化缓冲算子作用于单调增长序列，数据膨胀，弱化缓冲序列的增长速度比原始序列的增长速度减缓；而对于单调衰减序列，在弱化缓冲算子作用下，数据萎缩，即弱化缓冲序列的衰减速度比原始序列衰减速度减缓。因此，当原始序列的前半部分增长(衰减)速度较快，后半部分增长(衰减)速度较慢时，可以利用本文所构造的弱化缓冲算子对原始序列进行作用，将使序列变得比较平缓，并且考虑了“新信息优先”的原则，能够有效地消除冲击扰动对系统数据序列造成的“失真”现象，因而能够提高模型的模拟精度和预测精度。

4实例分析

取f(x)=g(x)=x来构造缓冲算子，以中国城镇登记失业人数(单位为万人)为例来验证本文弱化缓冲算子在GM(1，1)预测过程中的作用。选取2000～2006年中国城镇登记失业人数作为原始数据序列，见表1。

表1　中国城镇登记失业人数 　单位：万人

以2000～2005年的数据作为建模数据，2006年数据作为模型检验数据。计算城镇登记失业增长率分别为14.454%、13.069%、3.896%、3.375%、1.451%、0.954%，显然前半部分增长速度较快，后半部分增长速度比较慢，如果用此数据直接建模预测，不可取。认真分析，笔者发现原因有二：一方面20世纪90年代中后期到21世纪初，由于国有企业改革，造成了许多工人下岗；另一方面因为大中专院校扩大招生规模，为社会培养了许多毕业的大学生，因此，就业压力增大，失业人数大大增加。后来，由于中央政府和地方政府陆续出台了许多促进下岗职工再就业和扶持大学生就业的政策，减缓了就业压力，表现为城镇登记失业人数增长减缓。为了消除原始数据序列受到冲击扰动因素的影响，用缓冲算子进行作用。

以本文构造的缓冲算子对原始数据进行一阶弱化处理，分别建立预测模型如下：

无缓冲算子作用，由原始数据序列直接建立GM(1，1)模型为：

缓冲算子D2作用后得到弱化缓冲序列XD2，建立GM(1，1)模型为：

缓冲算子D3作用后得到弱化缓冲序列XD3，建立GM(1，1)模型为：

无缓冲算子作用和缓冲算子D2和D3作用后的缓冲序列的建立GM(1，1)模型得到平均相对误差和预测值见表2。

表2　四种情况平均相对误差和预测值

由表2知，原始数据序列经过弱化缓冲算子D2和D3作用后，平均相对误差都比原始序列直接建模的平均相对误差小，其中D3作用后得到的弱化缓冲序列的平均相对误差最小，预测值为848.6，比较逼近观测值847，一步预测相对误差只有-0.19%，即预测精度最高。

5结论

本文在已有的文献基础上，构造了一类新的弱化缓冲算子，并研究了它们之间的相互关系。利用所构造的缓冲算子对具有前半部分增长速度较快，而后半部分增长速度较慢特征的原始数据序列与一阶弱化缓冲序列分别进行了预测精度比较。结果表明：(1)用D2和D3弱化处理的缓冲序列预测精度比原始数据序列有显著提高；(2)通过比较3个新的弱化缓冲算子作用后的弱化缓冲序列的平均相对误差和预测值可以发现，D2和D3弱化的缓冲序列平均相对误差递减，一步预测误差也是递减的，其中原始序列经过D3弱化后，无论是模拟的平均相对误差还是预测误差，都是最小的。该弱化缓冲算子能够充分有效地消除原始数据序列中的冲击扰动因素的干扰。

参考文献

[1]刘思峰，党耀国，方志耕.灰色系统理论及其应用[M].北京：科学出版社，2004.

[2]LiuSi-feng.Thethreeaxiomsofbufferoperatorandtheirapplications[J].TheJournalofGreySystem，1991，3(1)：39-48.

[3]刘思峰. 缓冲算子及其应用[J].灰色系统理论与实践，1992，2(1)：45-50.

[4]刘思峰. 冲击扰动系统预测陷阱与缓冲算子[J]. 华中理工大学学报，1997，25(1)：25-27.

[5]谢乃明，刘思峰. 一种新的弱化缓冲算子[J]. 中国管理科学，2003，11(增)：46-48.

[6]党耀国，刘思峰，刘斌.关于弱化缓冲算子的研究[J].中国管理科学，2004，12(2)：108-111.

[7]党耀国，刘斌，关叶青. 关于强化缓冲算子的研究[J]. 控制与决策，2005，20(12)：1332-1336.

[8]党耀国，刘思峰，米传民.强化缓冲算子性质的研究[J]. 控制与决策，2007，22(7)：730-734.

[9]关叶青，刘思峰. 基于不动点的强化缓冲序列算子及其应用[J]. 控制与决策，2007，22(10)：1189-1192.

[10]崔杰，党耀国. 一类新的弱化缓冲算子的构造及其应用[J]. 控制与决策，2008，23(7)：741-750.

(责任编辑：宋金宝)