一类三次系统的大同宿分支

尚德生, 周运明， 周爱华

(山东理工大学 理学院， 山东淄博255049)

一类三次系统的大同宿分支

尚德生, 周运明， 周爱华

(山东理工大学 理学院， 山东淄博255049)

摘要：利用多参数摄动理论和微分方程定性理论，通过对一类三次系统扰动形成的大同宿轨研究，得到该系统至少有5个极限环，并给出极限环的分布为3+(1,1)分布.

关键词：摄动； 分支； 三次系统； 极限环； 大同宿轨

1引言与主要结论

文献[1]研究了下面的 Liénard系统

(1)

证明了对ε的解析函数a1,a2,a3，且|ε|充分小时系统至多存在三个极限环。文献[2]又研究了系统

(2)

发现系统可以有四个极限环。文献[3]又进一步讨论下面的三次系统

(3)

其中f2(x,y)=a1+a2x+a3x2+a4y2.单纯地通过对同宿轨和双同宿轨的扰动进行研究得到系统(3)可以有五个极限环，其分布为 1+(2, 2)的结构.

首先利用对双同宿轨扰动得到一个大的同宿轨，然后再研究大同宿轨的稳定性，并利用改变大同宿轨的稳定性的方法进行研究，得到系统(3)仍然可以有5个极限环，但是得到一种新的分布3+(1,1)(即在三个大极限环里面包含两个分离的小极限环)，这种分布是文献[3]中没有的. 以定理形式给出.

定理 1 系统 (3)至少可以有5个极限环，其分布是 3+(1，1).

注：利用扰动大同宿轨研究极限环的方法已经在文献[4]中运用，在这里利用这一方法来讨论另外一个不同的多项式系统.

2扰动大同宿轨及引理

由于未扰动系统是Hamilton的，其Hamilton函数为

而H(x,y)=0对应未扰动系统的双同宿轨，记为

x1≤x≤0,或0≤x≤x2,其中

其中

Mi(a)=-∮Li(a1+a2x+a3x2+a4y2)ydx=

2[Ai1a1+Ai2a2+Ai3a3+Ai4a4],i=1,2

(4)

根据文献[3]的计算得

显然，有下述引理成立

引理 1如……